判别事实上就是机器学习中的分类问题.

1 距离判别

设 ${\displaystyle G_1,G_2}$ 是两个不同的总体, 有密度 ${\displaystyle f_1,f_2}$. 要判别 ${\displaystyle y}$ 属于何者, 相当于检验 $$H_0:f=f_1\leftrightarrow H_1:f=f_2.$$
在判别问题中要求两种假设地位对等, 从而误判概率 ${\displaystyle p_{12}=p_{21}}$.^[1]

记 ${\displaystyle \lambda =\frac{f_1(y)}{f_2(y)}}$. 从而给出判别域 $$\begin{array}{}\text{(1.0)}& D_1=\left\{y|\frac{f_1(y)}{f_2(y)}\le C\right\},D_2=\left\{y|\frac{f_1(y)}{f_2(y)}>C\right\}.\end{array}$$ 当 ${\displaystyle y\in D_i}$ 时 ${\displaystyle y\in G_i}$, ${\displaystyle i=1,2}$.

1.1 正态同协方差阵情形

此时 ${\displaystyle G_i\sim {\mathcal{N}}_p({\mu }_i,\mathrm{\Sigma })}$, ${\displaystyle {\mu }_1\ne {\mu }_2}$. 于是 $$\begin{array}{rl}{f}_i(y)& =C(det\mathrm{\Sigma }{)}^{-\frac{1}{2}}\exp \{-\frac{1}{2}(y-{\mu }_i{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(y-{\mu }_i)\}\\ \Rightarrow \ln \lambda & =\ln \frac{f_1(y)}{f_2(y)}=\frac{1}{2}[(y-{\mu }_2{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(y-{\mu }_2)-(y-{\mu }_1{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(y-{\mu }_1)].\end{array}$$
记 ${\displaystyle W(y)=\ln \lambda }$ 为判别函数, 它给出判别 $$\begin{array}{}\text{(1.1)}& D_1=\{y|W(y)\le \ln C\},D_2=\{y|W(y)>\ln C\}.\end{array}$$
简单计算得 $$W(y)=({\mu }_1-{\mu }_2{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(y-\bar{\mu }),$$ 其中 ${\displaystyle \bar{\mu }=\frac{1}{2}({\mu }_1+{\mu }_2)}$.

当两个假设地位对等时, 可取 ${\displaystyle C=1}$, 则分界线是 ${\displaystyle W(y)=\ln C=0}$.^[2]

从 (1.1) 推广出一个重要概念: Mahalanobis 距离 $$d(x,y)=[(x-y{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}(x-y){]}^{\frac{1}{2}}\equiv ||x-y|{|}_{\mathrm{\Sigma }}.$$ 这个概念在 聚类方法、 因果推断重随机化 中也出现了. 这里我们把 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma }}$ 称为权矩阵.

定义 ${\displaystyle y}$ 到总体 ${\displaystyle G_i}$ 的距离为 $$d(y,G_i)=||y-{\mu }_i|{|}_{\mathrm{\Sigma }},$$ 从而判别规则改为 $$\begin{array}{}\text{(1.2)}& \{\begin{array}{rl}& d(y,G_1)<d(y,G_2):y\in G_1,\\ & d(y,G_1)\ge d(y,G_2):y\in G_2.\end{array}\end{array}$$ 把这称为距离判别.
把集合 ${\displaystyle \{y|d(y,G_1)=d(y,G_2)\}}$ 称为判别的边界. 在正态同协方差阵的情况下, 这个边界是过 ${\displaystyle \bar{\mu }}$ 的超平面.

下面对 ${\displaystyle C>0}$ 讨论误判概率. 记 ${\displaystyle b={\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}({\mu }_1-{\mu }_2)}$. 当 ${\displaystyle y\in G_1}$: $$W(y)\sim {\mathcal{N}}_p(\frac{1}{2}||b|{|}^2,||b|{|}^2),$$ 得$$\begin{array}{rl}{p}_{21}& =\mathbb{P}(W(y)\le \ln C)\\ & =\mathbb{P}(\frac{W(y)-\mathbb{E}W(y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(W(y))}}\le \frac{\ln C-\frac{1}{2}||b|{|}^2}{||b||})\\ & =\mathrm{\Phi }\left(\frac{\ln C-\frac{1}{2}||b|{|}^2}{||b||}\right).\end{array}$$
类似地 $$p_{12}=1-\mathrm{\Phi }\left(\frac{\ln C+\frac{1}{2}||b|{|}^2}{||b||}\right).$$
注意到 ${\displaystyle p_{21},p_{12}}$ 都关于 ${\displaystyle ||b||}$ 严格下降, 而 $$||b|{|}^2=b^{\mathrm{T}}b=({\mu }_1-{\mu }_2{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}({\mu }_1-{\mu }_2)\equiv d^2(G_1,G_2)$$ 可以看作两个总体的 Mahalanobis 距离, 因此两个总体较远时误判概率就会变小; 否则 ${\displaystyle p_{12}+p_{21}\approx 1}$, 且 $$\{\begin{array}{rl}& C=1:p_{21}=p_{12},\\ & C>0:p_{21}>p_{12},\\ & C<0:p_{21}<p_{12}.\end{array}$$
在实际中, 我们需要估计 ${\displaystyle {\mu }_1,{\mu }_2,\mathrm{\Sigma }}$. 一般地, ${\displaystyle G_i}$ 中取容量为 ${\displaystyle n_i}$ 的样本 ${\displaystyle Y^{(i)}}$. 用估计(参考这里) $$\begin{array}{rl}{\hat{\mu }}_i& =\frac{1}{n_i}{Y^{\mathrm{T}}}^{(i)}{\mathbf{1}}_{n_i},\\ \hat{\mathrm{\Sigma }}& =\frac{1}{n_1+n_2-2}\sum _{i=1}^2{Y^{\mathrm{T}}}^{(i)}{P}_{{\mathbf{1}}_{n_i}^{\perp }}{Y}^{(i)}\end{array}$$ 代替 ${\displaystyle {\mu }_i,\mathrm{\Sigma }}$, 得 $$\hat{W}(y)=({\hat{\mu }}_1-{\hat{\mu }}_2{)}^{\mathrm{T}}{\hat{\mathrm{\Sigma }}}^{-1}(y-\frac{{\hat{\mu }}_1+{\hat{\mu }}_2}{2}).$$
这就是基于样本观察值的距离判别.
它的误判概率的研究相当复杂, 这里不讨论.

1.2 分布自由同协方差阵情形

现在只假设 ${\displaystyle G_i}$ 的协方差阵都是 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma }}$, 均值 ${\displaystyle {\mu }_1\ne {\mu }_2}$. 注意到前面的判别规则只和分布的二阶矩有关, 所以这个判别在一般分布也同样适用, 但误差概率需要通过实践来检验.
下面讨论 Euclide 距离和 Mahalanobis 距离的优劣. 容易看出 Mahalanobis 距离的一个优点是没有量纲, 更加合理, 且把方差也考虑在内了.

1.3 协方差阵不等的情形

设 ${\displaystyle G_i\sim ({\mu }_i,{\mathrm{\Sigma }}_i)}$, ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_1\ne {\mathrm{\Sigma }}_2}$. 令判别函数 $$W(y)=\frac{1}{2}[(y-{\mu }_2{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}_2^{-1}(y-{\mu }_2)-(y-{\mu }_1{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}_1^{-1}(y-{\mu }_1)].$$
依然用判别规则 (1.1). 此时 ${\displaystyle W(y)}$ 不再是线性函数, 判别边界是 ${\displaystyle p}$ 维空间的二次曲面. 现仅讨论 ${\displaystyle p=1}$, 总体分布正态的情形. 不妨设 ${\displaystyle {\mu }_1>{\mu }_2}$, ${\displaystyle y\in ({\mu }_2,{\mu }_1)}$. 由 ${\displaystyle d(y,G_1)=d(y,G_2)}$ 得 $$\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}=\frac{{\mu }_1-y}{{\sigma }_1}\Rightarrow y_{\mathrm{C}}=\frac{{\mu }_1{\sigma }_2+{\mu }_2{\sigma }_1}{{\sigma }_1+{\sigma }_2}\ne \bar{\mu }.$$ 这里 ${\displaystyle y_{\mathrm{C}}}$ 是判别的阈值. 判别为 $$\{\begin{array}{rl}& y\le y_{\mathrm{C}},y\in G_2,\\ & y>y_{\mathrm{C}},y\in G_1.\end{array}$$
若 ${\displaystyle {\sigma }_2>{\sigma }_1}$, 阈值接近 ${\displaystyle {\mu }_1}$; 否则接近 ${\displaystyle {\mu }_2}$. 算出误判概率$$\begin{array}{rl}{p}_{12}& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^a(2\pi {\sigma }_1^2{)}^{-\frac{1}{2}}\exp \{-\frac{(y-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}\}\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^b(2\pi {)}^{-\frac{1}{2}}\exp \{-\frac{x^2}{2}\}\mathrm{d}x=\mathrm{\Phi }\left(\frac{{\mu }_2-{\mu }_1}{{\sigma }_1+{\sigma }_2}\right),\end{array}$$ 这里 ${\displaystyle a=\frac{{\mu }_1{\sigma }_2+{\mu }_2{\sigma }_1}{{\sigma }_1+{\sigma }_2}}$, ${\displaystyle b=\frac{{\mu }_2-{\mu }_1}{{\sigma }_1+{\sigma }_2}}$. 类似地 $$p_{21}=1-\mathrm{\Phi }\left(\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{{\sigma }_1+{\sigma }_2}\right)=p_{12}.$$
对于 ${\displaystyle k}$ 个总体, 设 ${\displaystyle G_i\sim ({\mu }_i,{\mathrm{\Sigma }}_i)}$. 记 ${\displaystyle d(y,G_i)=||y-{\mu }_i|{|}_{{\mathrm{\Sigma }}_i}}$, 令 $$D_i=\{y|d(y,G_i)=\underset{1\le j\le k}{min}d(y,G_j)\},i=1,\cdots ,k$$ 为判别区域, 判别规则是 ${\displaystyle y\in D_i:y\in G_i}$.

2 Fisher 判别函数

2.1 最优线性判别函数

Fisher 把问题限定到判断线性判别函数 ${\displaystyle a^{\mathrm{T}}y}$ 得优劣. 如果一个判别函数是"好"的, 则它在各个总体中求均值所得的 ${\displaystyle k}$ 个数应该有较大的利差. 令 $$\mathrm{\Delta }(a)=\frac{\sum _{i=1}^k{[{\mathbb{E}}_i(a^{\mathrm{T}}y)-\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{\mathbb{E}}_i(a^{\mathrm{T}}y)]}^2}{\sum _{i=1}^k{\mathrm{Var}}_i(a^{\mathrm{T}}y)},$$ 它被称为Fisher 准则.

把 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }(a)}$ 写成矩阵形式: $$\mathrm{\Delta }(a)=\frac{a^{\mathrm{T}}\sum _{i=1}^k({\mu }_i-\bar{\mu })({\mu }_i-\bar{\mu }{)}^{\mathrm{T}}a}{a^{\mathrm{T}}\left(\sum _{i=1}^k{\mathrm{\Sigma }}_i\right)a}\equiv \frac{a^{\mathrm{T}}Ma}{a^{\mathrm{T}}\mathrm{\Sigma }a}.$$
显然它只依赖 ${\displaystyle a}$ 的方向而非长度. 这里 ${\displaystyle \bar{\mu }=\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{\mu }_i}$, ${\displaystyle \mathrm{\Sigma }=\sum _{i=1}^k{\mathrm{\Sigma }}_i}$, ${\displaystyle M=\sum _{i=1}^k({\mu }_i-\bar{\mu })({\mu }_{\mathrm{i}}-\bar{\mu }{)}^{\mathrm{T}}}$. 令 ${\displaystyle b={\mathrm{\Sigma }}^{\frac{1}{2}}}$, 不妨设 ${\displaystyle ||b||=1}$, 从而 $$\mathrm{\Delta }(a)=\mathrm{\Delta }({\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}b)=b^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}M{\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}b.$$
根据 这里, $$\underset{||b||=1}{max}{b}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}M{\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}b={\lambda }_1({\mathrm{\Sigma }}^{-1}M)={\lambda }_1,$$ 极大值点为 ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}M{\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}}$ 对应 ${\displaystyle {\lambda }_1}$ 的特征向量 ${\displaystyle c_1}$, 因此 ${\displaystyle a_1={\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}{c}_i}$ 是 ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}^{-1}M}$ 对应 ${\displaystyle {\lambda }_1}$ 的特征向量, 得到最优线性判别函数 ${\displaystyle W_1(y)=a_1^{\mathrm{T}}y}$, 称 ${\displaystyle {\lambda }_1}$ 是 ${\displaystyle W_1(y)}$ 的判别效率.

此时判别规则是: 计算 $$d(W_1(y),W_1({\mu }_i))=\frac{|a_1^{\mathrm{T}}y-a_1^{\mathrm{T}}{\mu }_i|}{(a_1^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}_i{a}_1{)}^{\frac{1}{2}}},i=1,\cdots ,k,$$ 然后把 ${\displaystyle y}$ 判给上式最小的那个 ${\displaystyle G_i}$.

由于 ${\displaystyle {\mu }_i}$ 不全相同, ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}M{\mathrm{\Sigma }}^{-\frac{1}{2}}}$ 至少有一个正特征值. 对 ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}^{-1}M}$, 记特征值为 ${\displaystyle {\lambda }_1\ge \cdots \ge {\lambda }_r>0}$, 可以相继引进 ${\displaystyle W_i(y)=a_i^{\mathrm{T}}y}$, 用 ${\displaystyle r}$ 个综合指标来判别 ${\displaystyle y}$. 记 ${\displaystyle A=(a_1,\cdots ,a_r)}$, 则 $$d^2(A^{\mathrm{T}}y,A^{\mathrm{T}}{\mu }_i)=(y-{\mu }_i{)}^{\mathrm{T}}A(A^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}_{i}A{)}^{-1}{A}^{\mathrm{T}}(y-{\mu }_i).$$

2.2 准则和其他判别的关系

在 ${\displaystyle k=2}$ 时, $$\mathrm{\Delta }(a)=\frac{1}{2}\frac{a^{\mathrm{T}}({\mu }_1-{\mu }_2)({\mu }_1-{\mu }_2{)}^{\mathrm{T}}a}{2a^{\mathrm{T}}\mathrm{\Sigma }a},$$ 其中 ${\displaystyle \mathrm{\Sigma }=\frac{{\mathrm{\Sigma }}_1+{\mathrm{\Sigma }}_2}{2}}$, 因此 $${\mathrm{\Sigma }}^{-1}M=\frac{1}{2}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}({\mu }_1-{\mu }_2)({\mu }_1-{\mu }_2{)}^{\mathrm{T}},$$ 有唯一特征值 ${\displaystyle \frac{1}{2}({\mu }_1-{\mu }_2{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}({\mu }_1-{\mu }_2)=\frac{1}{2}||{\mu }_1-{\mu }_2|{|}_{\mathrm{\Sigma }}^2}$, 相应特征向量为 ${\displaystyle a_1={\mathrm{\Sigma }}^{-1}({\mu }_1-{\mu }_2)}$, 得最优线性判别函数 $$W_1(y)=({\mu }_1-{\mu }_2{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Sigma }}^{-1}y,$$ 因此 ${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_1={\mathrm{\Sigma }}_2}$ 时判别和 (1.2) 一致.

如果把 ${\displaystyle a^{\mathrm{T}}y}$ 换成任意可测的 ${\displaystyle a(y)}$, 设 ${\displaystyle k=2}$, ${\displaystyle G_i\sim f_i(y)}$, 则 ${\displaystyle {\mathbb{E}}_{i}a(y)=\int a(y)f_i(y)\mathrm{d}y}$, 得 $$\begin{array}{}\text{(2.1)}& \mathrm{\Delta }(a(y))=\frac{{\{\int a(y)[f_1(y)-f_2(y)]\mathrm{d}y\}}^2}{\int [a(y)-{\mathbb{E}}_{1}a(y){]}^2{f}_1(y)\mathrm{d}y+\int [a(y)-{\mathbb{E}}_{2}a(y){]}^2{f}_2(y)\mathrm{d}y}.\end{array}$$
设极大值点为 ${\displaystyle a_0(y)}$, 令 ${\displaystyle a(y)=a_0(y)+\lambda b(y)}$, ${\displaystyle \lambda \in \mathbb{R}}$, 则记 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }(a(y))=\mathrm{\Delta }(a_0(y),\lambda ,b(y))}$. 则 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }(a(y))}$ 关于 ${\displaystyle \lambda }$ 在 ${\displaystyle \lambda =0}$ 时极大: ${\displaystyle {\frac{\partial \mathrm{\Delta }(a(y))}{\partial \lambda }|}_{\lambda =0}=0}$.
记 $${\mathbb{E}}_{i0}=\int a_0(y)f_i(y)\mathrm{d}y,D_{i0}=\int [a_0(y)-{\mathbb{E}}_{i0}{]}^2{f}_i(y)\mathrm{d}y,$$ 则计算得 $$\int \{(D_{10}+D_{20})(f_1-f_2)-({\mathbb{E}}_{10}-{\mathbb{E}}_{20})[(a_0-{\mathbb{E}}_{10})f_1+(a_0-{\mathbb{E}}_{20})f_2]\}b(y)\mathrm{d}y=0.$$ 由 ${\displaystyle b(y)}$ 的任意性: $$(D_{10}+D_{20})(f_1-f_2)-({\mathbb{E}}_{10}-{\mathbb{E}}_{20})[(a_0-{\mathbb{E}}_{10})f_1+(a_0-{\mathbb{E}}_{20})f_2]=0,$$ 解得 $$a_0(y)=\frac{(d+{\mathbb{E}}_{10})f_1-(d-{\mathbb{E}}_{20})f_2}{f_1+f_2},$$ 其中 ${\displaystyle d=\frac{D_{10}+D_{20}}{{\mathbb{E}}_{10}-{\mathbb{E}}_{20}}}$.
从 (2.1) 看出, 如果 ${\displaystyle a_0(y)}$ 是极大值点, 则 ${\displaystyle \alpha a_0(y)+\beta }$ 也是 (2.1) 的极大值点.

设 ${\displaystyle {\pi }_i}$ 是 ${\displaystyle G_i}$ 的先验概率, 即混合总体中 ${\displaystyle G_i}$ 的比重是 ${\displaystyle {\pi }_i}$, ${\displaystyle {\pi }_1+{\pi }_2=1}$. 用待定系数法可以算出 $$\alpha =\frac{{\pi }_1+{\pi }_2}{2d+{\mathbb{E}}_{10}-{\mathbb{E}}_{20}},\beta =\frac{{\pi }_2(d-{\mathbb{E}}_{20})-{\pi }_1(d+{\mathbb{E}}_{10})}{2d+{\mathbb{E}}_{10}-{\mathbb{E}}_{20}}$$
时 $$\alpha a_0(y)+\beta =\frac{{\pi }_2{f}_1(y){\pi }_1{f}_2(y)}{f_1(y)+f_2(y)}\equiv a(y)$$ 是 (2.1) 的极大值点, 即它是最优判别函数. 所以有判别域$$\begin{array}{rl}{D}_1& =\{y|a(y)>0\}=\left\{y|f_1(y)>\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}{f}_2(y)\right\},\\ D_2& =\{y|a(y)\le 0\}=\left\{y|f_1(y)\le \frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}{f}_2(y)\right\},\end{array}$$ 这和 (1.0) 在 ${\displaystyle C=\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}}$ 时相同!

此外还和 (3.1) 相同.

3 Bayes 判别

Bayes 判别也是判别分析最常用的方法之一. 它的基本思想参考 5.1 Bayes统计推断.

在判别问题中, ${\displaystyle \theta }$ 取 ${\displaystyle k}$ 个值, 代表 ${\displaystyle k}$ 个总体的密度 ${\displaystyle f_i}$. 不妨认为 ${\displaystyle \theta \in \{1,\cdots ,k\}}$. 设 ${\displaystyle {\pi }_j=\mathbb{P}(\theta =j)}$ 是先验概率, 把 ${\displaystyle G_j}$ 误判给 ${\displaystyle G_i}$ 的损失记为 ${\displaystyle L(i,j)}$, 发生概率是 $$p_{ij}={\int }_{D_i}{f}_j(y)\mathrm{d}y=\int f_i(y){\chi }_{D_i}(y)\mathrm{d}y,$$ 这里 ${\displaystyle D_i}$ 是判别域, 所以平均损失 ( 风险函数 ):

这时判别函数实质上是一组判别域 ${\displaystyle D=\{D_1,\cdots ,D_k\}}$: $$\begin{array}{rl}& \bigcup _{i=1}^k{D}_i={\mathbb{R}}^p,\\ & {\mathbb{P}}_h(D_i\cap D_j)=0,i\ne j;i,j,h=1,\cdots ,k.\end{array}$$
当 ${\displaystyle y\in D_i}$, 判 ${\displaystyle y\in G_i}$.
由先验分布 ${\displaystyle \pi }$, 得 Bayes 风险为$$\begin{array}{rl}R\pi (D)& =\sum _{j=1}^k{\pi }_j\sum _{i=1}^{k}L(i,j)\int {\chi }_{D_i}(y)f_j(y)\mathrm{d}y\\ & =\sum _{j=1}^k\int {\chi }_{D_i}(y)\sum _{j=1}^k{\pi }_{j}L(i,j)f_j(y)\mathrm{d}y.\end{array}$$
记 ${\displaystyle h_i(y)=\sum _{j=1}^k{\pi }_{j}L(i,j)f_j(y)}$. 目标是求 ${\displaystyle D}$ 来最小化 ${\displaystyle R_{\pi }(D)}$, 把 ${\displaystyle D}$ 称为Bayes 判别.

令 ${\displaystyle D_i=\left\{y|h_i(y)=\underset{1\le j\le k}{min}{h}_j(y)\right\}}$, ${\displaystyle i=1,\cdots ,k}$. 下面证明 ${\displaystyle D}$ 就是 Bayes 解.

现在设 ${\displaystyle L(i,j)={\delta }_{ij}}$ (也即 0-1 损失函数), 则 Bayes 判别域为 $$D_i=\left\{y|\sum _{j\ne i}{\pi }_j{f}_j(y)=\underset{1\le l\le k}{min}\sum _{j\ne l}{\pi }_j{f}_j(y)\right\}.$$
在 ${\displaystyle k=2}$ 时, $$\begin{array}{rl}{D}_1& =\left\{y|f_1(y)>\frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}{f}_2(y)\right\},\\ \text{(3.1)}& D_2& =\left\{y|f_1(y)\le \frac{{\pi }_1}{{\pi }_2}{f}_2(y)\right\},\end{array}$$ 这就是 (1.0)!