容忍区间和区间估计并没有共同之处, 只是解有形式上的相似性.

1 背景与定义

如果某工厂生产一种产品, 质量指标 ${\displaystyle X\sim \mathcal{N}(a,{\sigma }^2)}$ (假设都已知). 给定 ${\displaystyle \beta \in (0,1)}$ (通常很小). 以 ${\displaystyle F(x;a,\sigma )}$ 记 ${\displaystyle \mathcal{N}(a,{\sigma }^2)}$ 的分布函数, 则可以找到很多 ${\displaystyle b_1<b_2}$: $$\begin{array}{}\text{(1.1)}& F(b_2;a,\sigma )-F(b_1;a,\sigma )\ge 1-\beta ,\end{array}$$ 如 ${\displaystyle (b_1,b_2)=(a-\sigma u_{\frac{\beta }{2}},a+\sigma u_{\frac{\beta }{2}})}$. 又可以定义 ${\displaystyle b_3<b_4}$: $$\begin{array}{}\text{(1.2)}& F(b_3;a,\sigma )\le \beta ,F(b_4;a,\sigma )\ge 1-\beta ,\end{array}$$ 如 ${\displaystyle (b_3,b_4)=(a-\sigma u_{\beta },a+\sigma u_{\beta })}$.
这个例子的意义是, 如果指定某个指标需要满足要求在 ${\displaystyle B_1,B_2}$ 之间才算合格, 且指定 ${\displaystyle \beta =0.01}$ (合格率至少为 ${\displaystyle 99\mathrm{\%}}$), 则能否找到 ${\displaystyle b_1,b_2}$, 使得 (1.1) 成立, 且 ${\displaystyle B_1\le b_1<b_2\le B_2}$?

如果 ${\displaystyle a,\sigma }$ 已知, 则这里没有统计问题. 否则, ${\displaystyle b_1\sim b_4}$ 需要根据 ${\displaystyle X}$ 来估计. 比如如果有估计量 ${\displaystyle {\hat{b}}_i(X_1,\cdots ,X_n)={\hat{b}}_i}$, 则能否有 ${\displaystyle F({\hat{b}}_2;a,\sigma )-F({\hat{b}}_1;a,\sigma )\ge 1-\beta }$? 由于随机性, 我们只能降低到这个事件的概率 ${\displaystyle \ge 1-\gamma }$. 这就引导出容忍区间/容忍限的概念.

设 ${\displaystyle X\sim F(x)}$, 分布未知. ${\displaystyle X_1,\cdots ,X_n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }X}$. 给定 ${\displaystyle \beta ,\gamma \in (0,1)}$. 设 ${\displaystyle T_i=T_i(X_1,\cdots ,X_n)}$ 为统计量, ${\displaystyle T_1\le T_2}$.

形式上容忍区间和置信区间相似, 但它们实质不同. 后者是为了估计分布中的未知参数, 而前者中 ${\displaystyle b_1,b_2}$ 无穷多, 我们并不关心某对确定的 ${\displaystyle (b_1,b_2)}$, 而是关心 ${\displaystyle F(T_2)-F(T_1)\ge 1-\beta }$ 这件事是否成立.

2 容忍区间、容忍限的求法

2.1 ${\displaystyle {\displaystyle (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })}}$ 上处处连续的分布函数 ${\displaystyle {\displaystyle F(x)}}$

现设 ${\displaystyle X_1,\cdots ,X_n}$ 为 ${\displaystyle X}$ 的独立观察值, 次序统计量为 ${\displaystyle X_{(1)}\le \cdots \le X_{(n)}}$. 根据引理, 若 ${\displaystyle U_i=F(X_i)}$, 则 ${\displaystyle U_1,\cdots ,U_n\sim \mathrm{Uniform}(0,1)}$. 因此若 ${\displaystyle U_{(1)}\le \cdots \le U_{(n)}}$, 则 ${\displaystyle U_{(i)}=F(X_{(i)})}$. 记 ${\displaystyle V_{ij}=U_{(j)}-U_{(i)}}$, 则 ${\displaystyle V_{ij}}$ 的密度已经在 这里 给出. 则 $$\mathbb{P}(F(X_{(j)})-F(X_{(i)})\ge 1-\beta )=\mathbb{P}(V_{ij}\ge 1-\beta )={\int }_{1-\beta }^1{g}_{nij}(v)\mathrm{d}v.$$
如果选择了 ${\displaystyle i,j}$ 让积分不小于 ${\displaystyle 1-\gamma }$, 则根据定义 ${\displaystyle [X_{(i)},X_{(j)}]}$ 就是 ${\displaystyle F}$ 的 ${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$ 容忍区间. 一般地, 选择 ${\displaystyle i+j=n+1}$ (或者 ${\displaystyle n,n+2}$), 这样得到的区间稍微短一点.
同样地对容忍上下限, $$\mathbb{P}(F(X_{(i)})\ge 1-\beta )=\mathbb{P}(U_{(i)}\ge 1-\beta ),$$ 代入 ${\displaystyle F(x)=x,f(x)=1}$, 得 $$\begin{array}{rl}& \mathbb{P}(F(X_{(i)})\ge 1-\beta )={\int }_{1-\beta }^1{g}_{n,i,n-i+1}(v)\mathrm{d}v,\\ & \mathbb{P}(F(X_{(j)})\le \beta )={\int }_0^{\beta }{g}_{n,j,n-j+1}(v)\mathrm{d}v.\end{array}$$
选择 ${\displaystyle i,j}$ 让右边的积分 ${\displaystyle \ge 1-\gamma }$, 则 ${\displaystyle X_{(i)},X_{(j)}}$ 就是 ${\displaystyle F}$ 的 ${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$ 容忍上/下限.

2.2 正态分布

正态分布函数处处连续, 所以可以用上一节的结果. 但它比较粗糙, 因此这里把它精细化.
设 ${\displaystyle X_1,\cdots ,X_n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\mathcal{N}(a,{\sigma }^2)}$, ${\displaystyle a,\sigma }$ 未知. (如果已知, 前面已经介绍了结果.) 由于估计的随机性, ${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$ 容忍上限不见得是 ${\displaystyle \bar{X}+S{u}_{\beta }}$, 而需要加入修正系数 ${\displaystyle \lambda =\lambda (\beta ,\gamma )}$. 记分布函数 ${\displaystyle F_{a,\sigma }(x)}$, 则 $$F_{a,\sigma }(\bar{X}+\lambda S)\ge 1-\beta ⟺\bar{X}+\lambda S\ge a+\sigma u_{\beta },$$ 从而问题转化为求 ${\displaystyle \lambda }$: $$\mathbb{P}(\bar{X}+\lambda S\ge a+\sigma u_{\beta })\ge 1-\gamma .$$ 记 ${\displaystyle S^{\prime }=\frac{S}{\sigma }}$, ${\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-a)}{\sigma }=Y}$, 则 $$\begin{array}{}\text{(2.1)}& \mathbb{P}(\frac{Y-\sqrt{n}{u}_{\beta }}{S^{\prime }}\ge -\sqrt{n}\lambda )\ge 1-\gamma .\end{array}$$ 由于 ${\displaystyle Y\perp \perp S^{\prime }}$, ${\displaystyle S^{\prime }\sim \sqrt{\frac{{\chi }_{n-1}^2}{n-1}}}$, ${\displaystyle Y\sim \mathcal{N}(0,1)}$, 从而 $$\frac{Y-\sqrt{n}{u}_{\beta }}{S^{\prime }}\sim t_{n-1,\delta },\delta =-\sqrt{n}{u}_{\beta }.$$如果能确定 ${\displaystyle {\lambda }^{\prime }}$, 使 ${\displaystyle \mathbb{P}(t_{n-1,\delta }\ge {\lambda }^{\prime })=1-\gamma }$, 则 ${\displaystyle \lambda =-\frac{{\lambda }^{\prime }}{\sqrt{n}}}$ 就满足 (2.1) 了. 这样容忍上下限就是 ${\displaystyle \bar{X}\pm \lambda S}$.

对于容忍区间, 首先得到上面的容忍限, 然后根据下面的引理得到:

近似解法: ${\displaystyle \mathrm{\Phi }(x)}$ 是 ${\displaystyle \mathcal{N}(0,1)}$ 的分布函数, 找 ${\displaystyle b}$ 使 $$\mathrm{\Phi }(\frac{1}{\sqrt{n}}+b)-\mathrm{\Phi }(\frac{1}{\sqrt{n}}-b)=1-\beta .$$ 再算出 ${\displaystyle \lambda =\frac{\sqrt{n-1}b}{\sqrt{{\chi }_{n-1}^2(\gamma )}}}$, 则 ${\displaystyle [\bar{X}-\lambda S,\bar{X}+\lambda S]}$ 近似地为 ${\displaystyle F}$ 的 ${\displaystyle (\beta ,\gamma )}$ 容忍区间.