Fisher 的区间估计的方法原则上可以用于任何统计推断问题, 代表了对统计问题的一种根本上不同的观点.

1 信任分布

设样本 ${\displaystyle X\sim \mathcal{N}(\theta ,1)}$, 样本大小为 ${\displaystyle 1}$, 则 ${\displaystyle X-\theta \sim \mathcal{N}(0,1)}$, 即对 ${\displaystyle \mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}}$: $$\mathbb{P}(X-\theta <t)=\mathrm{\Phi }(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^t{\mathrm{e}}^{-\frac{y^2}{2}}\mathrm{d}y,$$ 它可以改写为 $$\begin{array}{}\text{(1.1)}& \mathbb{P}(\theta >X-t)=\mathrm{\Phi }(t),\text{或}\mathbb{P}(\theta <X-t)=1-\mathrm{\Phi }(t).\end{array}$$ 虽然从通常的概率论来说这样的写法没什么区别, 但是 Fisher 却认为, 有了样本 ${\displaystyle X}$ 后, 把 ${\displaystyle \theta }$ 看成一个随机变量, 它就有了一个分布, 把它称为 ${\displaystyle \theta }$ 的信任分布.

在得到 ${\displaystyle X}$ 前, 我们对 ${\displaystyle \theta }$ 一无所知. ${\displaystyle X}$ 提供的信息打破了我们的无知, 用概率分布的形式给出了对 ${\displaystyle \theta }$ 的新认识.

再比如, 要做 ${\displaystyle \theta }$ 的 区间估计, 给定 ${\displaystyle \alpha }$, 找 ${\displaystyle a,b(a<b)}$, 使 ${\displaystyle \tilde{\mathbb{P}}(a\le \theta \le b)=1-\alpha }$ (${\displaystyle \tilde{\mathbb{P}}}$ 表示 ${\displaystyle \theta }$ 的信任分布). 则根据 (1.1), 这要求 $$\mathrm{\Phi }(X-a)-\mathrm{\Phi }(X-b)=1-\alpha .$$ 取一组让 ${\displaystyle b-a}$ 最小的 ${\displaystyle a,b}$, 这时 ${\displaystyle a=X-u_{\frac{\alpha }{2}}}$, ${\displaystyle b=X+u_{\frac{\alpha }{2}}}$.

对于多个样本 ${\displaystyle X_1,\cdots ,X_n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\mathcal{N}(\theta ,1)}$, 注意到 ${\displaystyle \bar{X}}$ 是 ${\displaystyle \theta }$ 的 充分统计量, 且 ${\displaystyle \sqrt{n}(\bar{X}-\theta )\sim \mathcal{N}(0,1)}$, 则得到信任分布 ${\displaystyle \theta \sim \mathcal{N}(\bar{X},\frac{1}{n})}$. 由此建立信任区间 ${\displaystyle [\bar{X}-\frac{u_{\frac{\alpha }{2}}}{\sqrt{n}},\bar{X}+\frac{u_{\frac{\alpha }{2}}}{\sqrt{n}}]}$.
再比如 ${\displaystyle X_1,\cdots ,X_n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\mathcal{N}(a,{\sigma }^2)}$, ${\displaystyle a,\sigma }$ 未知, 则 ${\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-a)}{S}\sim t_{n-1}}$, 即 $$\mathbb{P}(\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-a)}{S}<x)=T_{n-1}(x)=\mathbb{P}(a>\bar{X}-\frac{Sx}{\sqrt{n}}).$$
虽然到目前为止和置信区间的结果一样, 但是往后人们发现具体结果也可能不同.
Fisher 的理论目前存在两个问题:

• 什么是信任分布. 这种"信任程度"怎么刻画. 我们可以用类似"公理化"的方法把它作为一个基本概念不加说明.
• 怎么确定信任分布. 对于不存在充分统计量的时候, 或者存在多个充分统计量的时候, 怎么导出信任区间.

2 用 Fisher 方法解 Behrens-Fisher 问题

Behrens-Fisher 问题是这样的问题:

也即和前面的两样本检验相比, 最大的不同是方差不再相同.
为了解决这个问题, 记 ${\displaystyle \bar{X},S_1^2,\bar{Y},S_2^2}$. 记 ${\displaystyle t_1\sim t_{m-1}}$, ${\displaystyle t_2\sim t_{n-1}}$. 用 ${\displaystyle \xi \stackrel{\mathrm{d}}{=}\eta }$ 表示两个随机变量分布相同. 则 $$\frac{\sqrt{m}(\bar{X}-a)}{S_1}\stackrel{\mathrm{d}}{=}{t}_1,\frac{\sqrt{n}(\bar{Y}-b)}{S_2}\stackrel{\mathrm{d}}{=}{t}_2.$$ 记 ${\displaystyle Z=\bar{Y}-\bar{X}}$, ${\displaystyle \theta =b-a}$. 记 ${\displaystyle S_1^{\ast }=\frac{S_1}{\sqrt{m}}}$, ${\displaystyle S_2^{\ast }=\frac{S_2}{\sqrt{n}}}$, 则 $$Z-\theta =S_2^{\ast }{t}_2-S_1^{\ast }{t}_1\Rightarrow \theta =Z-(S_2^{\ast }{t}_2-S_1^{\ast }{t}_1).$$ 有了样本后, 记 ${\displaystyle Z,S_1^{\ast },S_2^{\ast }}$ 的具体值为 ${\displaystyle z,s_1^{\ast },s_2^{\ast }}$. 则上式变为 ${\displaystyle \theta }$ 的信任分布.
因为 ${\displaystyle t_1,t_2}$ 独立且都是 t 分布, 所以可以确定 ${\displaystyle \theta }$ 的信任分布. 记 ${\displaystyle r=\sqrt{{s_1^{\ast }}^2+{s_2^{\ast }}^2}}$, 找 ${\displaystyle \psi :\cos \psi =\frac{s_2^{\ast }}{r}}$. 此时 ${\displaystyle \sin \psi =\frac{s_1^{\ast }}{r}}$. 而 ${\displaystyle s_2^{\ast }{t}_2-s_1^{\ast }{t}_1=r(t_2\cos \psi -t_1\sin \psi )}$. 用 ${\displaystyle F_{m,n,\psi }}$ 表示 ${\displaystyle t_2\cos \psi -t_1\sin \psi }$ 的分布(因为只和 ${\displaystyle m,n,\psi }$ 有关). 找 ${\displaystyle y_{m,n,\psi ,\alpha }>0}$ 使得 $$F_{m,n,\psi }(y_{m,n,\psi ,\alpha })-F_{m,n,\psi }(-y_{m,n,\psi ,\alpha })=1-\alpha ,$$ 则 $$\tilde{\mathbb{P}}(|z-\theta |\le r{y}_{m,n,\psi ,\alpha })=\mathbb{P}(|t_2\cos \psi -t_1\sin \psi |\le y_{m,n,\psi ,\alpha })=1-\alpha ,$$ 于是 $$\tilde{\mathbb{P}}(z-r{y}_{m,n,\psi ,\alpha }\le \theta \le z+r{y}_{m,n,\psi ,\alpha })=1-\alpha .$$ 从而我们得到信任区间 ${\displaystyle [z-r{y}_{m,n,\psi ,\alpha },z+r{y}_{m,n,\psi ,\alpha }]}$.
可以证明这个区间并不是 ${\displaystyle 1-\alpha }$ 置信区间.