记 ${\displaystyle I={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$, 则回顾 Riemann可积的定义, ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }\pi ,\xi (\pi )}$, 当 ${\displaystyle ||\pi ||<\delta :|\sum _{\pi }f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-I|<\epsilon }$.
特别地, 对于 ${\displaystyle \epsilon =1}$, 取分割 ${\displaystyle \pi }$ 和值点 ${\displaystyle \xi (\pi )}$, 使得 ${\displaystyle |\sum _{\pi }f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-I|<1}$.
在 ${\displaystyle [a,x_1]}$ 上,

固定 ${\displaystyle {\xi }_2,\dots ,{\xi }_n}$, 在 ${\displaystyle [a,x_1]}$ 上任取 ${\displaystyle {\xi }_1}$, 均有

也即 ${\displaystyle \mathrm{\forall }x\in [a,x_1]:|f(x)|\le M_1}$.
同理可证, ${\displaystyle \mathrm{\exists }{M}_i,\mathrm{\forall }x\in [x_{i-1},x_i]:|f(x)|\le M_i(i=2,\dots ,n)}$, 从而 ${\displaystyle |f(x)|\le max\{M_1,\dots ,M_n\}}$. 也即 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上有界.

我们只证明 ${\displaystyle \underset{||\pi ||\to 0}{lim}\underset{―}{S}(f,\pi )=\underset{―}{I}}$, 另一个等式同理可以得证.
首先证明, 若 ${\displaystyle {\pi }^{\ast }}$ 是 ${\displaystyle \pi }$ 中加入 ${\displaystyle l}$ 个新分点后得到的分割, 则

第一部分的证明: ${\displaystyle l=1}$, 设
${\displaystyle \pi :a=x_0<\cdot \cdot \cdot <x_{k-1}<x_k<\cdot \cdot \cdot <x_n=b}$,
${\displaystyle {\pi }^{\ast }:a=x_0<\cdot \cdot \cdot <x_{k-1}<x^{\ast }<x_k<\cdot \cdot \cdot <x_n=b}$.
为此我们记

则

作差得

从而加入 ${\displaystyle l}$ 个新分点后结论自明.

然后证明结论式.
由 ${\displaystyle \underset{―}{I}}$ 定义得 ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{\pi }_0:\underset{―}{S}(f,{\pi }_0)>\underset{―}{I}-\frac{\epsilon }{2}}$. 设 ${\displaystyle {\pi }_0}$ 有 ${\displaystyle l}$ 个内分点, 取 ${\displaystyle \delta =\frac{\epsilon }{2l\omega }}$, 于是 ${\displaystyle \mathrm{\forall }\pi ,||\pi ||<\delta }$, 取 ${\displaystyle {\pi }^{\ast }=\pi \cup {\pi }_0}$. 那么 ${\displaystyle {\pi }^{\ast }}$ 相较 ${\displaystyle \pi }$ 至多加入了 ${\displaystyle l}$ 个新分点, 从而

又 ${\displaystyle \underset{―}{S}(f,{\pi }_0)\le \underset{―}{S}(f,{\pi }^{\ast })}$, 结合起来,

从而 ${\displaystyle |\underset{―}{S}(f,\pi )-\underset{―}{I}|<\epsilon }$, 结论得证.

• (1) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (2): 由 ${\displaystyle f(x)\in R[a,b]}$, ${\displaystyle \mathrm{\exists }I\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }\pi ,\xi (\pi ),||\pi ||<\delta }$: $$|\sum _{\pi }f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i-I|<\frac{\epsilon }{2}\Rightarrow I-\frac{\epsilon }{2}<\sum _{\pi }f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i<I+\frac{\epsilon }{2}.$$
  因此

也即

从而 ${\displaystyle 0\le \bar{S}(f,\pi )-\underset{―}{S}(f,\pi )\le \epsilon \Rightarrow \underset{||\pi ||\to 0}{lim}\sum _{\pi }{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i=0}$.

• (2) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (3): 由 (2), ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }\pi ,||\pi ||<\delta :0\le \sum _{\pi }{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\epsilon }$. 进而

由 ${\displaystyle \epsilon }$ 的任意性, 可得 ${\displaystyle \bar{I}=\underset{―}{I}}$.

• (3) ${\displaystyle \Rightarrow }$ (1): 记 ${\displaystyle I=\bar{I}=\underset{―}{I}}$. ${\displaystyle \mathrm{\forall }\pi ,\xi (\pi )}$, 我们有

结合 Darboux定理 得

因此 ${\displaystyle f(x)\in R[a,b]}$.

从而我们证明了上述 3 个语句的等价性.

1. 由 Cantor定理 得, ${\displaystyle f(x)\in U.C[a,b]}$, 从而 ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }{x}^{\prime },x^{″}\in [a,b]}$ 且 ${\displaystyle |x^{\prime }-x^{″}|<\delta :|f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\epsilon }$. 取分割 ${\displaystyle \pi (||\pi ||<\delta )}$, 则对应的 ${\displaystyle {\omega }_i\le \epsilon }$. 从而 ${\displaystyle \sum _{\pi }{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i\le \epsilon (b-a)}$. 因此 ${\displaystyle \underset{||\pi ||\to 0}{lim}\sum _{\pi }{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i=0}$. 由 Riemann可积准则 得证.
2. 不妨设 ${\displaystyle f(x)}$ 单调递增. ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0}$, 取分割 ${\displaystyle \pi (||\pi ||<\delta )}$, 记

则

取 ${\displaystyle \delta <\frac{\epsilon }{f(b)-f(a)+1}}$, 则 ${\displaystyle \sum _{\pi }{\omega }_i\mathrm{\Delta }{x}_i<\epsilon }$.
3. 设间断点为 ${\displaystyle y_1,\dots ,y_p}$. 不妨设 ${\displaystyle a<y_1<\cdots <y_p<b}$. 取 ${\displaystyle \eta =min\{y_2-y_1,\dots ,y_p-y_{p-1}\}>0,\delta =min\{\epsilon ,\frac{\eta }{3}\}>0}$. 在 ${\displaystyle [a,y_1-\delta ],[y_1+\delta ,y_2-\delta ],\dots ,[y_p+\delta ,b]}$ 上, 由于 ${\displaystyle f(x)}$ 连续, 因此也一致连续. 从而可在每个区间上插入分点使得对应的小区间的振幅 ${\displaystyle {\omega }_i<\epsilon }$. 将这些分点与 ${\displaystyle y_1-\delta ,y_1+\delta ,\dots ,y_p-\delta ,y_p+\delta }$ 一起构成 ${\displaystyle [a,b]}$ 的分割 ${\displaystyle \pi }$. 在 ${\displaystyle [y_j-\delta ,y_j+\delta ]}$ 上振幅 ${\displaystyle {\omega }_i\le M-m}$, 且区间长度 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{x}_i=2\delta <2\epsilon }$. 从而

因此结论得证.

记 ${\displaystyle |f(x)|\le M}$, 则由 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a}$ 得 ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }n>N:a\le x_n<a+\frac{\epsilon }{4M}}$.
从而在 ${\displaystyle [a,a+\frac{\epsilon }{4M}]}$ 上任意分割 ${\displaystyle {\pi }^{\prime }}$:

在 ${\displaystyle [a+\frac{\epsilon }{4M},b]}$ 上, 由于间断点只有有限个, 那么 ${\displaystyle f(x)\in R[a+\frac{\epsilon }{4M},b]}$. 也即 ${\displaystyle [a+\frac{\epsilon }{4M},b]}$ 上存在分割 ${\displaystyle {\pi }^{″}}$:

因此取 ${\displaystyle \pi ={\pi }^{\prime }\cup {\pi }^{″}}$ (加入了新分点 ${\displaystyle x=a+\frac{\epsilon }{4M}}$),

从而 ${\displaystyle f(x)\in R[a,b]}$.