5.1 不定积分

1 不定积分的定义

原函数

设 $I$ 是一个区间, 若 $\exists F (x), x \in I : F^{'} (x) = f (x), \forall x \in I$ , 则称 $F (x)$ 是 $f (x)$ 在 $I$ 上的一个原函数.

如果原函数存在, 那么它显然不是唯一的, 因为其常数项可以任取. 因此我们给出如下定义.

不定积分

称 $f (x)$ 在 $I$ 上的原函数的全体 ${F (x) + c | c \in R}$ 为 $f (x)$ 在 $I$ 上的不定积分, 记为 $\int f (x) d x$ . 这里 $\int$ 是积分符号, $f (x)$ 是被积函数, $d x$ 是积分变量. 我们又记

\int f (x) d x = F (x) + C .

不定积分本质上是求导的逆运算. 我们指出连续函数一定存在原函数, 这将在下一节进行探讨. 但不难看出, 不是所有函数的原函数都能用初等函数表示, 因此本章只是讨论一些特定的函数类型的原函数的求法.

2 不定积分的求法

根据初等函数的导数公式逆向考察, 很容易得出:

命题

$\int x^{α} d x = \frac{x^{α + 1}}{α + 1} + C, α \neq - 1$ .
$\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ .
$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ .
$\int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, a \in (0, 1) \cup (1, + \infty)$ .
$\int \sin x d x = - \cos x + C$ .
$\int \cos x d x = \sin x + C$ .
$\int \sec^{2} x d x = \tan x + C$ .
$\int \csc^{2} x d x = - \cot x + C$ .
$\int \sec x \tan x d x = \sec x + C$ .
$\int \csc x \cot x d x = - \csc x + C$ .
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \arcsin x + C$ .
$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan x + C$ .

而对于更为复杂、无法直接观察出原函数的函数, 必须介绍其他的方法.

2.1 分部积分法

分部积分法

在 $f (x), g (x)$ 可导时, $\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int g (x) f^{'} (x) d x$ .

证明

由微分的四则运算得

d (f (x) g (x)) = f (x) d g (x) + g (x) d f (x) .

同时取不定积分得

\int d (f (x) g (x)) = \int f (x) d g (x) + \int g (x) d f (x),

即

f (x) g (x) = \int f (x) g^{'} (x) d x + \int g (x) f^{'} (x) d x .

移项即证.

2.2 换元法

第一类换元法: 若 $F (x)$ 是 $f (x)$ 的一个原函数, $φ (x)$ 可导, 则

\int f (φ (x)) φ^{'} (x) d x = \int f (u) d u = F (u) + C = F (φ (x)) + C,

这里 $u = φ (x)$ .

第二类换元法: 若 $φ (u)$ 存在反函数, $φ^{'} (u)$ 连续且非零, $f (x)$ 连续且 $f (φ (u)) φ^{'} (u)$ 有原函数 $F (u)$ , 则

\int f (x) d x = \int f (φ (u)) φ^{'} (u) d u = F (u) + C = F (φ^{- 1} (x)) + C .

下面我们给出一下公式并展示计算过程:

命题

$\int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C, a > 0$ .
$\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = \arcsin \frac{x}{a} + C$ .
$\int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C$ .
$\int \tan x d x = - \ln | \cos x | + C$ .
$\int \cot x d x = \ln | \sin x | + C$ .
$\int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C$ .
$\int \csc x d x = \ln | \csc x - \cot x | + C$ .
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x = \ln | x + \sqrt{x^{2} + a^{2}} | + C$ .
$\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x = \ln | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} | + C$ .

证明

令 $x = a u$ 则

\begin{aligned} \int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x & = \int \frac{1}{a^{2} + a^{2} u^{2}} a d u = \frac{1}{a} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u \\ = \frac{1}{a} \arctan u + C = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C . \end{aligned}

同 (1) 可得.

\int\frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x &= \frac{1}{2a}\int\left(\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x+a}\right)\mathrm{d}x\
&= \frac{1}{2a}(\ln|x-a|-\ln|x+a|)+C = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C.
\end{align*}

$4.$
\int\tan x \mathrm{d}x = \int\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x = -\int\frac{\mathrm{d}(\cos x)}{\cos x} = -\ln|\cos x|+C.
$5. 同 (4) 可得 . 6. 令 $ u = \sin x $, 结合 (3) 得$
\begin{align*}
\int\sec x \mathrm{d}x &= \int\frac{1}{\cos x}\mathrm{d}x = \int\frac{\cos x}{\cos^2 x}\mathrm{d}x = \int\frac{\mathrm{d}(\sin x)}{1-\sin^2 x} = \int\frac{\mathrm{d}u}{1-u^2} \
&= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+u}{1-u}\right|+C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|+C \
&= \frac{1}{2}\ln\left|\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}\right|+C = \ln\left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|+C \
&= \ln|\sec x+\tan x|+C.
\end{align*}
$7. 同 (6) 可得 . 8. 令 $ x = a \tan u $, 则$
\begin{align*}
\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x &= \int\frac{a\sec^2 u}{\sqrt{a^2\tan^2 u+a^2}}\mathrm{d}u = \int\sec u \mathrm{d}u \
&= \ln|\sec u+\tan u|+C = \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}+\frac{x}{a}\right|+C \
&= \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}| - \ln a + C = \ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C'.
\end{align*}
$9. 令 $ x = a \sec u $, 同 (8) 可得 .$