• "${\displaystyle \Leftarrow }$" 根据一致连续性定义 是显然的.

• "${\displaystyle \Rightarrow }$" 反设 ${\displaystyle f(x)\notin U.C[a,b]}$, 即 ${\displaystyle \mathrm{\exists }{\epsilon }_0>0,\mathrm{\exists }\{x_n^{\prime }\},\{x_n^{″}\}\subset [a,b]}$, 且 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n^{\prime }-x_n^{″}|=0}$, 但 ${\displaystyle |f(x_n^{\prime })-f(x_n^{″})|\ge {\epsilon }_0}$. 注意到 ${\displaystyle \{x_n^{\prime }\},\{x_n^{″}\}}$ 有界, 由 Bolzano-Weierstrass定理, 知它们各自存在收敛子列, 分别记为 ${\displaystyle \{x_{n_k}^{\prime }\},\{x_{n_k}^{″}\}}$. 记 ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}^{\prime }=\xi }$, 则

又由 ${\displaystyle f(x)}$ 的连续性得

则对 ${\displaystyle |f(x_{n_k}^{\prime })-f(x_{n_k}^{″})|\ge {\epsilon }_0}$, 令 ${\displaystyle k\to \mathrm{\infty }}$, 即得

产生矛盾, 因此 ${\displaystyle f(x)\in U.C[a,b]}$.

• "${\displaystyle \Leftarrow }$" 令

则 ${\displaystyle F(x)\in C[a,b]\Rightarrow F(x)\in U.C[a,b]}$, 进而 ${\displaystyle f(x)\in U.C(a,b)}$.

• "${\displaystyle \Rightarrow }$" 由 ${\displaystyle f(x)\in U.C(a,b)}$ 得 ${\displaystyle \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0,\mathrm{\forall }{x}^{\prime },x^{″}\in (a,b)}$, ${\displaystyle |x^{\prime }-x^{″}|<\delta }$: ${\displaystyle |f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\epsilon }$. 特别地, 取 ${\displaystyle x^{\prime },x^{″}\in (a,a+\delta )}$, 则 ${\displaystyle |f(x^{\prime })-f(x^{″})|<\epsilon }$. 结合 Cauchy收敛准则 得 ${\displaystyle f(a^{+})}$ 存在.
  同理得 ${\displaystyle f(b^{-})}$ 存在.

• 证明一: 用 闭区间套定理 证明. 反设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上无界. 将 ${\displaystyle [a,b]}$ 二等分, 则 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]}$ 中的至少一个区间上无界, 记这个区间为 ${\displaystyle [a_1,b_1]}$. 以此类推, 得到闭区间列 ${\displaystyle \{[a_n,b_n]\}}$ 满足:

  1. ${\displaystyle [a_n,b_n]\supset [a_{n+1},b_{n+1}]}$.
  2. ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(b_n-a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b-a}{2^n}=0}$.
  3. ${\displaystyle f(x)}$ 在每一个 ${\displaystyle [a_n,b_n]}$ 上无界.

  由 (1)(2) 结合闭区间套定理知, 存在唯一的 ${\displaystyle \xi \in \bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}[a_n,b_n]:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=\xi }$. 由于 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle \xi }$ 处连续, 故 ${\displaystyle \mathrm{\exists }o(\xi ,{\delta }_0)}$, 使 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle o(\xi ,{\delta }_0)}$ 上有界. 而由 (3), ${\displaystyle \mathrm{\exists }{n}_0:[a_{n_0},b_{n_0}]\subset o(\xi ,{\delta }_0)}$, 即 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a_{n_0},b_{n_0}]}$ 上无界, 矛盾! 因此有界性得证.

• 证明二: 用 Bolzano-Weierstrass定理 . 反设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上无界, 则 ${\displaystyle \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }x\in [a,b]:|f(x)|\ge M}$. 特别地, 取 ${\displaystyle M=1,2,\dots ,n,\dots }$, 得到数列 ${\displaystyle \{x_n\}\subset [a,b]}$, 且 ${\displaystyle |f(x_n)|\ge n}$, 即 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|f(x_n)|=\mathrm{\infty }}$.
  由于 ${\displaystyle \{x_n\}}$ 有界, 故由 Bolzano-Weierstrass 定理, 存在收敛子列 ${\displaystyle \{x_{n_k}\}}$, 记 ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}=\xi }$, 且 ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$. 由于 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle \xi }$ 处连续, 则 ${\displaystyle \mathrm{\exists }o(\xi ,{\delta }_0)}$, 使 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle o(\xi ,{\delta }_0)}$ 上有界, 但 ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_{n_k})=\mathrm{\infty }}$, 矛盾! 因此有界性得证.

由定理, ${\displaystyle f(a^{+}),f(b^{-})}$ 存在. 令 ${\displaystyle F(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in (a,b),\\ f(a^{+}),& x=a,\\ f(b^{-}),& x=b,\end{array}}$ 则 ${\displaystyle F(x)\in C[a,b]}$, 从而 ${\displaystyle F(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上有界. 又 ${\displaystyle f(x)=F(x){|}_{(a,b)}}$, 故 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (a,b)}$ 上有界.

由 ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A}$ 知, ${\displaystyle \mathrm{\exists }{M}_1>0,X_1>0,\mathrm{\forall }x\in [X_1,+\mathrm{\infty }):|f(x)|\le M_1}$.
由 ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=B}$ 知, ${\displaystyle \mathrm{\exists }{M}_2>0,X_2<0,\mathrm{\forall }x\in (-\mathrm{\infty },X_2]:|f(x)|\le M_2}$.
又 ${\displaystyle f(x)\in C[X_2,X_1]}$, 故 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [X_2,X_1]}$ 上有界, 即 ${\displaystyle \mathrm{\exists }{M}_3>0,\mathrm{\forall }x\in [X_2,X_1]:|f(x)|\le M_3}$.
取 ${\displaystyle M=max\{M_1,M_2,M_3\}}$, 则恒有 ${\displaystyle |f(x)|\le M}$, 因此 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle \mathbb{R}}$ 上有界.

由于 ${\displaystyle f(x)\in C[a,b]}$, 故 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 上有界, 由 确界原理 知 ${\displaystyle \mathrm{\exists }\beta \in \mathbb{R}:\beta =supf([a,b])}$.
进一步地, ${\displaystyle \mathrm{\exists }\{x_n\}\subset [a,b]:\beta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)}$. 由于 ${\displaystyle \{x_n\}}$ 有界, 则由 Bolzano-Weierstrass定理, 存在收敛子列 ${\displaystyle \{x_{n_k}\}}$, 记 ${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n_k}=x^{\ast }\in [a,b]}$. 由于 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x^{\ast }}$ 处连续, 故

于是 ${\displaystyle f(x^{\ast })=maxf[a,b]}$. 同理有 ${\displaystyle x_{\ast }\in [a,b]:f(x_{\ast })=minf[a,b]}$.

令 ${\displaystyle F(x)=f(x)-r\in C[a,b]}$, 则 ${\displaystyle F(a)=f(a)-r<0<f(b)-r=F(b)}$, 由 零点存在性定理, 得证.

只需证明: ${\displaystyle \mathrm{\forall }{y}_1,y_2\in f(I)(y_1<y_2):(y_1,y_2)\subset f(I)}$.
事实上, 设 ${\displaystyle x_1,x_2\in I:f(x_1)=y_1,f(x_2)=y_2}$. 任取 ${\displaystyle r\in (y_1,y_2)}$, 则由 介值定理 知存在 ${\displaystyle \xi }$ 介于 ${\displaystyle x_1,x_2}$ 之间, 使得 ${\displaystyle f(\xi )=r\in f(I)}$. 从而 ${\displaystyle (y_1,y_2)\subset f(I)}$, 故得证.