2.1 数列极限的概念与性质

1 数列极限的定义

数列

定义无限个数 $x_{1}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}, \cdot \cdot \cdot (n \in N^{*})$ 组成的有序排列为一个数列 ${x_{n}}$ , 即 ${x_{n}} = {x_{1}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}, \cdot \cdot \cdot}$ . $x_{n}$ 是这个数列的通项. 在不加说明的情况下, 我们默认 $n$ 是正整数.

单调数列

在数列 ${x_{n}}$ 中,

若 $x_{1} \leq \cdot \cdot \cdot \leq x_{n} \leq \cdot \cdot \cdot$ , 则称 ${x_{n}}$ 是单调递增数列;
若 $x_{1} \geq \cdot \cdot \cdot \geq x_{n} \geq \cdot \cdot \cdot$ , 则称 ${x_{n}}$ 是单调递减数列;
若 $x_{1} < \cdot \cdot \cdot < x_{n} < \cdot \cdot \cdot$ , 则称 ${x_{n}}$ 是严格单调增加数列;
若 $x_{1} > \cdot \cdot \cdot > x_{n} > \cdot \cdot \cdot$ , 则称 ${x_{n}}$ 是严格单调递减数列.

有界数列

在数列 ${x_{n}}$ 中,

若 $\exists M \in R, \forall n, x_{n} \leq M$ , 则称 ${x_{n}}$ 是上有界数列, $M$ 即 ${x_{n}}$ 的一个上界;
若 $\exists m \in R, \forall n, x_{n} \geq m$ , 则称 ${x_{n}}$ 是下有界数列, $m$ 即 ${x_{n}}$ 的一个下界;
既是上有界数列, 又是下有界数列的数列称为有界数列, 即 $\exists m, M \in R, \forall n, m \leq x_{n} \leq M$ . 或者 $\exists M \geq 0, \forall n, | x_{n} | \leq M$ .
不是有界数列的数列称为无界数列.

收敛数列

在数列 ${x_{n}}$ 中, 若 $\exists a \in R, \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n > N : | x_{n} - a | < ε$ , 则称 ${x_{n}}$ 是收敛的, 或者进一步称 ${x_{n}}$ 收敛于 $a$ . 记为

lim_{n \to \infty} x_{n} = a .

称 $a$ 是 $x_{n}$ 在 $n$ 趋于无穷大时的极限, 若数列不存在极限, 则称其是发散的.

命题

$lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists c > 0, N \in N, \forall n > N : | x_{n} - a | < c ε$

证明

$lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow \forall (c ε) > 0, \exists N \in N, \forall n > N : | x_{n} - a | < c ε$ , 而 $ε$ 与 $c ε$ 显然是一一对应的, 也即在任取 $c ε$ 的情况下可以看作 $ε$ 是任取的, 因此结论得证.

这个命题在之后的证明中被反复用到, 因此有必要单独作为命题在这里提及. 事实上理解这种定义的语言的后这是显然的, 在后面用这套语言定义其他极限过程时对应的结论不再做说明.

同样地有

lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n > N : | x_{n} - a | \leq ε .

此时注意到 $a - ε < x_{n} < a + ε$ , 因此定义

邻域

称 $(a - ε, a + ε)$ 是以 a 为中心, $ε$ 为半径的邻域, 记为 $o (a, ε)$ .
称 $(a - ε, a) \cup (a, a + ε)$ 是以 a 为中心, $ε$ 为半径的去心邻域, 记为 $o (\hat{a}, ε)$ .

由定义不难发现, 在 $n > N$ 时, $x_{n} \in o (a, ε)$ , 也就是说, 对于给定的 $ε$ , ${x_{n}}$ 中只有有限项不在 $o (a, ε)$ 中.

2 数列极限的性质

数列极限的性质

极限唯一性 设 ${x_{n}}$ 收敛, 则极限唯一.
有界性 收敛数列一定有界.
保号性 设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ . 若 $a > 0$ , 则 $\forall 0 < l < 1, \exists N \in N, \forall n > N : | x_{n} | > l a$ . 在 $a < 0$ 时, 该式改写为 $| x_{n} | < - l a$ .
夹逼性 设 $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n}, lim_{n \to \infty} y_{n} = lim_{n \to \infty} z_{n} = a$ , 则 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ .
不等式性 设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a, lim_{n \to \infty} y_{n} = b$ , 则

a \leq b \Leftrightarrow \exists N \in N, \forall n > N : x_{n} \leq y_{n} .

a < b \Rightarrow \exists N \in N, \forall n > N : x_{n} < y_{n} .

证明

反设 $\exists a, b \in R : lim_{n \to \infty} x_{n} = a, lim_{n \to \infty} x_{n} = b$ , 且不妨设 $a < b$ . 取 $ε = \frac{b - a}{2}$ ; 则 $\exists N_{1} \in N, \forall n > N_{1}$ :

| x_{n} - a | < ε \Rightarrow x_{n} < a + ε = \frac{b + a}{2} .

另一方面, $\exists N_{2} \in N, \forall n > N_{2} : | x_{n} - b | < ε$ :

| x_{n} - b | < ε \Rightarrow x_{n} > b - ε = \frac{b + a}{2} .

取 $N = max {N_{1}, N_{2}}$ , 则 $\forall n > N : \frac{a + b}{2} < x_{n} < \frac{a + b}{2}$ , 矛盾, 因此 ${x_{n}}$ 的极限是唯一的.
2. 设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ , 则对于 $ε = 1, \exists N \in N, \forall n > N :$ $| x_{n} - a | < 1 \Rightarrow | x_{n} | < | a | + 1.$ 取 $M = max {x_{1}, \cdot \cdot \cdot, x_{N}, | a | + 1}$ , 可见 $| x_{n} | \leq M, \forall n$ , 故 ${x_{n}}$ 有界.
3. 当 $a > 0$ , 对于 $ε = 1 - l > 0$ , $\exists N \in N, \forall n > N$ : $| x_{n} - a | < (1 - l) a \Rightarrow l a < | x_{n} | < (2 - l) a .$ 即 $| x_{n} | > l a$ . 同理可证 $a < 0$ 的情形.
4. 由条件, $\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n > N :$ $| z_{n} - a | < ε \Rightarrow z_{n} < a + ε, | y_{n} - a | < ε \Rightarrow y_{n} > a - ε .$ 而 $a - ε < y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} < a + ε$ , 也即 $| x_{n} - a | < ε$ , 因此 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ .
5. 对于第一个结论, 由已知, $\exists N_{0} \in N, \forall n > N_{0} : | x_{n} - a | < ε, | y_{n} - b | < ε$ , 也即 $a - ε < x_{n} < a + ε, b - ε < y_{n} < b + ε$ .
假设 $a > b$ , 取 $ε = \frac{a - b}{2} > 0$ , 则 $x_{n} > a - ε = \frac{a + b}{2} = b + ε > y_{n},$ 这与 $x_{n} \leq y_{n}$ 矛盾, 因此 $a \leq b$ .
这个结论反向是不成立的, 取反例 $a = b = 0, x_{n} = \frac{1}{n} > - \frac{1}{n} = y_{n}$ 即可.
对于第二个结论, 仿照第一个结论的证明可得结论, 它的反向同样不成立, 取反例 $y_{n} = \frac{1}{n} > - \frac{1}{n} = x_{n}, a = b = 0$ 即可, 因此证明完毕.

3 数列极限的四则运算

数列极限的四则运算

设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a, lim_{n \to \infty} y_{n} = b$ , 则

$lim_{n \to \infty} (x_{n} \pm y_{n}) = a \pm b$ ;
$lim_{n \to \infty} α x_{n} = α a$ ;
$lim_{n \to \infty} x_{n} y_{n} = a b$ ;
$lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{a}{b}, b \neq 0, y_{n} \neq 0$ .

证明

由已知, $\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n > N : | x_{n} - a | < ε, | y_{n} - b | < ε$ . 由

| (x_{n} \pm y_{n}) - (a \pm b) | = | (x_{n} - a) \pm (y_{n} - b) | \leq | x_{n} - a | + | y_{n} - b | < 2 ε,

得 $lim_{n \to \infty} (x_{n} \pm y_{n}) = a \pm b$ .

由已知, $\forall ε > 0, \exists N \in N, \forall n > N : | x_{n} - a | < ε$ , 则 $α \neq 0$ 时 $| α x_{n} - α a | < | α | ε$ , 结合 $α = 0$ 是显然的, 得 $lim_{n \to \infty} α x_{n} = α a$ .
由已知, $\forall ε > 0, \exists N_{1} \in N, \forall n > N_{1} : | x_{n} - a | < ε, | y_{n} - b | < ε$ .
结合有界性, $\exists N_{2} \in N, M > 0, \forall n > N_{2} : | y_{n} | \leq M$ . 取 $N = max {N_{1}, N_{2}}, \forall n > N$ :

\begin{aligned} | x_{n} y_{n} - a b | & = | x_{n} y_{n} - a y_{n} + a y_{n} - a b | \\ \leq | x_{n} - a | | y_{n} | + | a | | y_{n} - b | \\ \leq M | x_{n} - a | + | a | | y_{n} - b | \\ < (M + | a |) ε, \end{aligned}

因此 $lim_{n \to \infty} x_{n} y_{n} = a b$ .

只需要证明 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{y_{n}} = \frac{1}{b}$ . 由已知, $\forall ε > 0, \exists N_{1} \in N, \forall n > N_{1} : | y_{n} - b | < ε$ . 由保号性,
$\exists N_{2} \in N, \forall n > N_{2} : | y_{n} | > \frac{| b |}{2} > 0$ . 取 $N = max {N_{1}, N_{2}}, \forall n > N$ :

| \frac{1}{y_{n}} - \frac{1}{b} | = \frac{| y_{n} - b |}{| y_{n} | | b |} < \frac{ε}{\frac{| b |}{2} \cdot | b |} = \frac{2}{b^{2}} ε,

因此结合 3 可得 $lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{a}{b}$ .

4 无穷小量与无穷大量

无穷小量

若 ${x_{n}}$ 收敛于 0, 则称 ${x_{n}}$ 是无穷小量, 记为 $x_{n} = o (1)$ .

结合四则运算的性质, 容易得到

无穷小量的性质

有限个无穷小量的和与积是无穷小量.
无穷小量与有界量之积仍是无穷小量.
若 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ , 记 $y_{n} = x_{n} - a$ , 则 ${y_{n}}$ 是无穷小量.

无穷大量

若 $\forall G > 0, \exists N \in N, \forall n > N : | x_{n} | > G$ , 则称 ${x_{n}}$ 是无穷大量, 记为 $lim_{n \to \infty} x_{n} = \infty$ .

尽管这里使用了极限符号 lim, 但不代表 ${x_{n}}$ 的极限“存在”.

类似地可以定义, 若 $\forall G > 0, \exists N \in N, \forall n > N : x_{n} > G$ , 则称 ${x_{n}}$ 是正无穷大量, 记为 $lim_{n \to \infty} x_{n} = + \infty$ .
若 $\forall G > 0, \exists N \in N, \forall n > N : x_{n} < - G$ , 则称 ${x_{n}}$ 是负无穷大量, 记为 $lim_{n \to \infty} x_{n} = - \infty$ .

无穷大量的性质

若 ${x_{n}}$ 是无穷大量, ${y_{n}}$ 满足: $\exists N \in N, c > 0, \forall n > N : | y_{n} | > c$ , 则 ${x_{n} y_{n}}$ 是无穷大量.
若 ${x_{n}}$ 是无穷大量, $lim_{n \to \infty} y_{n} = b (b \neq 0, y_{n} \neq 0)$ , 则 ${x_{n} y_{n}}, {\frac{x_{n}}{y_{n}}}$ 是无穷大量.
$x_{n} \neq 0, {x_{n}}$ 是无穷大量, 则 ${\frac{1}{x_{n}}}$ 是无穷小量; 反之, 若 ${x_{n}}$ 是无穷小量, 则 ${\frac{1}{x_{n}}}$ 是无穷大量.

证明

4. $n > N$ 时, $| x_{n} y_{n} | > c | x_{n} |$ , 容易看出 ${x_{n} y_{n}}$ 是无穷大量.

由已知, $\forall G > 0, \exists N, \forall n > N : | x_{n} | > \frac{2}{| b |} G, | y_{n} | > \frac{| b |}{2} > 0$ , 则 $| x_{n} y_{n} | > G$ , 从而 ${x_{n} y_{n}}$ 是无穷大量.
设 ${x_{n}}$ 是无穷小量, $\forall G > 0$ , 对 $\frac{1}{G} > 0, \exists N \in N, \forall n > N : | x_{n} | < \frac{1}{G}$ , 即 $| \frac{1}{x_{n}} | > G$ , 即 ${\frac{1}{x_{n}}}$ 是无穷大量, 另一个结论同理可证.

5 子列

子列

取数列 ${x_{n}}$ 中的部分项 $x_{n_{1}}, x_{n_{2}}, \cdot \cdot \cdot, x_{n_{k}}, \cdot \cdot \cdot (n_{1} < n_{2} < \cdot \cdot \cdot < n_{k} < \cdot \cdot \cdot)$ 构成数列 ${x_{n_{k}}}$ , 称为 ${x_{n}}$ 的一个子列. ${x_{n_{k}}}$ 显然也是 ${x_{n}}$ 的子列.
注意, 这里 $n_{k}$ 表示 $x_{n_{k}}$ 是 ${x_{n}}$ 的第 $n_{k}$ 项, $k$ 表示 $x_{n_{k}}$ 是 ${x_{n_{k}}}$ 的第 $k$ 项, 且显然有 $n_{k} \geq k$ .
参考数列极限的定义, 还可以给出子列极限的定义:
$lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = a \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists N \in N, \forall k > N : | x_{n_{k}} - a | < ε$ .
$lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists N \in N, \forall k > N : | x_{n_{k}} | > G$ .
$lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = + \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists N \in N, \forall k > N : x_{n_{k}} > G$ .
$lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = - \infty \Leftrightarrow \forall G > 0, \exists N \in N, \forall k > N : x_{n_{k}} < - G$ .

定理 1

$lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow \forall {x_{n_{k}}} \subset {x_{n}} : lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = a .$

证明

" $\Rightarrow$ " 由已知, $\forall ε > 0, \exists K \in N, \forall k > K : | x_{k} - a | < ε$ . 而 $n_{k} \geq k > K$ , 因此 $| x_{n_{k}} - a | < ε$ , 故 $lim_{k \to \infty} x_{n_{k}} = a$ .
" $\Leftarrow$ " 取 ${x_{n_{k}}} = {x_{n}}$ 即可.

定理 2

$lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow lim_{k \to \infty} x_{2 k} = lim_{k \to \infty} x_{2 k - 1} = a .$

证明

" $\Rightarrow$ " 由定理 1, 是自明的.
" $\Leftarrow$ " 由已知, $\forall ε > 0, \exists K_{1}, K_{2} \in N, \forall k > K_{1} : | x_{2 k} - a | < ε; \forall k > K_{2} : | x_{2 k - 1} - a | < ε$ .
取 $N = max {2 K_{1}, 2 K_{2} - 1}$ , 于是 $\forall n > N$ :
若 n 为偶数, 且 $\frac{n}{2} > \frac{N}{2} \geq K_{1}$ ,

| x_{n} - a | = | x_{2 \cdot \frac{n}{2}} - a | < ε

若 n 为奇数, 且 $\frac{n + 1}{2} > \frac{N + 1}{2} \geq K_{2}$ ,

| x_{n} - a | = | x_{2 \cdot \frac{n + 1}{2} - 1} - a | < ε

从而总有 $| x_{n} - a | < ε$ , 故 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ .