1 重合度的含义

我们在第三部分假设了可忽略性 ${\displaystyle Z\perp \perp \{Y(1),Y(0)\}|X}$ 和重合性 ${\displaystyle 0<e(X)<1}$. 更多的协变量意味着可忽略性更合理, 但是重合性会更不合理, 因为在给出更多的协变量时, 实验处理变得更加可预测.
如果有些单元有 ${\displaystyle e(X)\in \{0,1\}}$, 则关于反事实潜在结果, 我们就没法想象. 如果一个单元明确地接受实验, 拿猜想对照下的潜在结果就没有意义了, 反之亦然. 即使真的倾向得分不是精确的 ${\displaystyle 0}$ 或 ${\displaystyle 1}$, 但是在有限样本中倾向得分的估计值可能也会很接近 ${\displaystyle 0}$ 或 ${\displaystyle 1}$, 这样 IPW 下的结果数值上不稳定. 这个问题已经在 3.2 观察性实验中的倾向得分 中讨论了.
很多统计分析需要一个更严格的重合性假设:

记 ${\displaystyle X=(X_1,\cdots ,X_p)}$, ${\displaystyle e=\mathbb{P}(Z=1)}$ 为实验单元的比例.

一般来说这个最大特征值的阶是 ${\displaystyle O(p)}$, 除非 ${\displaystyle X}$ 的组成部分有高度相关性. 反之如果没有高度相关性, 则左边部分收敛到 ${\displaystyle 0}$. 从数学上, 左侧收敛到 ${\displaystyle 0}$ 可以排除"${\displaystyle X}$ 所有维度在两组间都存在显著均值差异"的可能性, 这是一个极其苛刻的要求.

1.1 修剪

如果 严格重合性假设 不成立, 我们通常基于估计的倾向得分来修剪单元, 它将重合度小的区域里的单元舍弃, 这会改变群体和待估计量. 通常我们需要更多进行修剪来满足假设, 以及要修剪一大部分单元来在高维下获得理想的重合性.

1.2 结果的建模

在高维协变量下, 结果的建模更加重要. 如果结果均值只取决于原始的协变量 $$\mathbb{E}[Y(z)|X]=f_z(r(X)),z=0,1,$$ 则只需要控制 ${\displaystyle r(X)}$ (一个原始协变量的低维概括).

2 无重合性的因果推断: 断点回归

我们先从单变元 ${\displaystyle X}$ 开始. 考虑一个极端的、确定的分配方式: $$Z=\mathbf{1}\{X\ge x_0\}.$$ 这样可假设性 ${\displaystyle Z\perp \perp \{Y(1),Y(0)\}|X}$ 自动成立. 但是重合性假设不成立: $$e(X)=\mathbb{P}(Z=1|X)=\{\begin{array}{rl}& 1,X\ge x_0,\\ & 0,X<x_0.\end{array}$$ 那么我们第四部分介绍的各种分析手段都不适用了. 下面我们介绍一种称为 断点回归 的方法.
我们把 ${\displaystyle X}$ 称为驱动变量, 它决定了单元是否接受实验处理. 从直观上, 断点回归能在截断 ${\displaystyle x_0}$ 处识别一个局部平均因果效应 $$\tau (x_0)=\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)|X=x_0].$$
特别地, $$\begin{array}{rl}\text{(右连续性)}& \mathbb{E}[Y(1)|X=x_0]& =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}\mathbb{E}[Y(1)|X=x_0+\epsilon ]\text{(Z的定义)}& & =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}\mathbb{E}[Y(1)|Z=1,X=x_0+\epsilon ]& =\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}\mathbb{E}[Y|Z=1,X=x_0+\epsilon ].\end{array}$$ 类似地 $$\mathbb{E}[Y(0)|X=x_0]=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}\mathbb{E}[Y|Z=0,X=x_0-\epsilon ].$$ (假设 ${\displaystyle x_0}$ 处左连续). 这样局部平均因果效应就是两个极限之差.

2.1 边界处的回归

如果我们很幸运, 图形诊断有时会展示截断点的因果效应. 但是很多结果充满了噪音, 图形诊断对有限样本并不适用.
假设 ${\displaystyle \mathbb{E}(Y|Z=1,X=x)={\gamma }_1+{\beta }_{1}x}$, ${\displaystyle \mathbb{E}(Y|Z=0,X=x)={\gamma }_0+{\beta }_{0}x}$ 关于 ${\displaystyle x}$ 是线性的. 我们能在实验/对照数据上跑 OLS 来得到拟合的 ${\displaystyle {\hat{\gamma }}_1+{\hat{\beta }}_{1}x}$ 和 ${\displaystyle {\hat{\gamma }}_0+{\hat{\beta }}_{0}x}$. 这样 $$\hat{\tau }(x_0)=({\hat{\gamma }}_1-{\hat{\gamma }}_0)+({\hat{\beta }}_1-{\hat{\beta }}_0)x_0.$$ 数值上它就是 ${\displaystyle Y_i\sim \{1,Z_i,X_i-x_0,Z_i(X_i-x_0)\}}$ 的 OLS 中 ${\displaystyle Z_i}$ 的系数, 以及也是 ${\displaystyle Y_i\sim \{1,Z_i,R_i,L_i\}}$ 中 ${\displaystyle Z_i}$ 的系数, 这里 ${\displaystyle R_i=max(X_i-x_0,0)}$, ${\displaystyle L_i=min(X_i-x_0,0)}$ 表示 ${\displaystyle X_i-x_0}$ 的右、左部分.
但是这个方法在非线性下会被破坏. 另外选取跑回归的"局部点"的规则很复杂. 不过 R 中的 rdrobust.rdrobust 函数内置了不同的选法. 由于选取局部点是断点回归的关键, 报告不同选法的估计和置信区间. 这可以看作断点回归的 敏感性分析.

2.2 问题

一个挑战是识别断点的邻域. 此外, 定理2.1 假设了连续性条件, 但实际可能会不满足 (不过也很难验证是否满足).
有人提出一种不直接的检验有效性的办法: 检查截断点处的驱动变量. 驱动变量截断点处密度的不连续性会表明, 有些单元能完美操作, 来进入处理状态. 可以用 R 中的 rdd.DCdensity.