Cornfield型敏感性分析 在给定观测协变量时, 对风险比、二元结果表现最好. 它不够通用. 本节将给出一种基于潜在结果条件期望的、更直接的敏感性估计方法. 它能在敏感性分析框架下处理常用的平均因果效应估计量.

1 介绍

回忆我们观察性实验的经典假设 ${\displaystyle \{Z_i,X_i,Y_i(1),Y_i(0){\}}_{i=1}^n\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\{Z,X,Y(1),Y(0)\}}$, 然后关注平均因果效应 $$\tau =\mathbb{E}[Y(1)-Y(0)].$$ 分解为$$\begin{array}{rl}\tau =& [\mathbb{E}(Y|Z=1)\mathbb{P}(Z=1)+\mathbb{E}\{Y(1)|Z=0\}\mathbb{P}(Z=0)]\\ -& [\mathbb{E}\{Y(0)|Z=1\}\mathbb{P}(Z=1)+\mathbb{E}(Y|Z=0)\mathbb{P}(Z=0)].\end{array}$$ 所以根本的难题是估计反事实均值 ${\displaystyle \mathbb{E}[Y(1)|Z=0]}$ 和 ${\displaystyle \mathbb{E}[Y(0)|Z=1]}$. 一般来说有两种估计的极端策略.

第一个策略就是前面的可忽略性(无混杂变量假设). 假设 $$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}[Y(1)|Z=1,X]=\mathbb{E}[Y(1)|Z=0,X],\\ & \mathbb{E}[Y(0)|Z=1,X]=\mathbb{E}[Y(0)|Z=0,X].\end{array}$$ 这样反事实均值可以估计为$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}[Y(1)|Z=0]=\mathbb{E}\{\mathbb{E}(Y|Z=1,X)|Z=0\},\\ & \mathbb{E}[Y(0)|Z=1]=\mathbb{E}\{\mathbb{E}(Y|Z=0,X)|Z=1\}.\end{array}$$
第二个策略就是下面要介绍的. 它没有额外的假设, 除了结果介于 ${\displaystyle \underset{―}{y},\bar{y}}$ 之间. 对二元变量这是自然的. 这样反事实均值也会在 ${\displaystyle \underset{―}{y},\bar{y}}$ 之间. 这说明了 ${\displaystyle \tau }$ 最差情况下的边界.

2 Manski 型无假设的平均因果效应的最坏边界

假设结果在 ${\displaystyle \underset{―}{y},\bar{y}}$ 之间. 从分解 $$\mathbb{E}[Y(1)]=\mathbb{E}\{Y(1)|Z=1\}\mathbb{P}(Z=1)+\mathbb{E}\{Y(1)|Z=0\}\mathbb{P}(Z=0),$$ 可知 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y(1)]\in [& \mathbb{E}\{Y|Z=1\}\mathbb{P}(Z=1)+\underset{―}{y}\mathbb{P}(Z=0),\\ & \mathbb{E}\{Y|Z=1\}\mathbb{P}(Z=1)+\bar{y}\mathbb{P}(Z=0)].\end{array}$$ 类似地 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y(0)]\in [& \underset{―}{y}\mathbb{P}(Z=1)+\mathbb{E}\{Y|Z=0\}\mathbb{P}(Z=0),\\ & \bar{y}\mathbb{P}(Z=1)+\mathbb{E}\{Y|Z=0\}\mathbb{P}(Z=0)].\end{array}$$ 于是$$\begin{array}{rl}\tau \in [& \mathbb{E}\{Y|Z=1\}\mathbb{P}(Z=1)+\underset{―}{y}\mathbb{P}(Z=0)-\bar{y}\mathbb{P}(Z=1)-\mathbb{E}\{Y|Z=0\}\mathbb{P}(Z=0)\\ & \mathbb{E}\{Y|Z=1\}\mathbb{P}(Z=1)+\bar{y}\mathbb{P}(Z=0)-\underset{―}{y}\mathbb{P}(Z=1)-\mathbb{E}\{Y|Z=0\}\mathbb{P}(Z=0)].\end{array}$$ 区间长度是 ${\displaystyle \bar{y}-\underset{―}{y}}$. 这个界给的信息并不多, 但是比起先验的界 ${\displaystyle [\underset{―}{y}-\bar{y},\bar{y}-\underset{―}{y}]}$ 来说还是收窄了一半. 如果没有其他假设, 观测到的数据并不能唯一确定 ${\displaystyle \tau }$. 此时我们说 ${\displaystyle \tau }$ 是 部分识别的, 具体定义如下:

对比 可识别性 和这里的部分可识别性. 如果参数 ${\displaystyle \theta }$ 被观测到的数据分布唯一确定, 它就是可识别的; 否则是部分可识别的. 因此在可忽略性假设下是可识别的, 但是没了这个假设就是部分可识别的.

3 平均因果效应的敏感性分析

第一个策略 是乐观的, 假设了在观测到的协变量下, 潜在结果和两个组别没关系. 第二个策略 是悲观的, 它不从观测到的结果推测任何反事实均值的信息. 下面的策略介于两者之间.

3.1 识别公式

定义 $$\frac{\mathbb{E}\{Y(1)|Z=1,X\}}{\mathbb{E}\{Y(1)|Z=0,X\}}={\epsilon }_1(X),\frac{\mathbb{E}\{Y(0)|Z=1,X\}}{\mathbb{E}\{Y(0)|Z=0,X\}}={\epsilon }_0(X),$$ 为敏感性参数. 简化起见, 我们能进一步假设他们是与 ${\displaystyle X}$ 无关的常量. 在实际中, 我们需要固定它们, 或者只在一个事先约定好的范围里取值. 回忆 ${\displaystyle {\mu }_1(X)=\mathbb{E}(Y|Z=1,X)}$, ${\displaystyle {\mu }_0(X)=\mathbb{E}(Y|Z=0,X)}$ 分别是实验/对照组的观测结果的条件均值. 则关于反事实均值我们有

如果拟合了结果回归模型, 则$$\begin{array}{rl}{\hat{\tau }}^{\mathrm{pred}}=& \{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Z}_i{Y}_i+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(1-Z_i)\frac{{\hat{\mu }}_1(X_i)}{{\epsilon }_1(X_i)}\}\\ & -\{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Z}_i{\hat{\mu }}_0(X_i){\epsilon }_0(X_i)+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(1-Z_i)Y_i\},\\ {\hat{\tau }}^{\mathrm{proj}}=& \{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Z}_i{\hat{\mu }}_1(X_i)+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(1-Z_i)\frac{{\hat{\mu }}_1(X_i)}{{\epsilon }_1(X_i)}\}\\ & -\{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Z}_i{\hat{\mu }}_0(X_i){\epsilon }_0(X_i)+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(1-Z_i){\hat{\mu }}_0(X_i)\}.\end{array}$$
这里术语 "预测性的" (predictive) 和 "投射性的" (projective) 来自调查采样的文献. 前者尽可能用观测到的结果, 后者则用了拟合的值.

更有趣的是, 我们能通过 IPW 来识别 ${\displaystyle \tau }$.

这个定理修改了 IPW公式, 新增了两项 ${\displaystyle {\omega }_1(X),{\omega }_0(X)}$, 它们依赖倾向性得分和敏感性参数. 给定拟合的倾向性得分, 我们有$$\begin{array}{rl}{\hat{\tau }}^{\mathrm{ht}}=& \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\{\hat{e}(X_i){\epsilon }_1(X_i)+1-\hat{e}(X_i)\}{Z}_i{Y}_i}{{\epsilon }_1(X_i)\hat{e}(X_i)}\\ & -\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\{\hat{e}(X_i){\epsilon }_0(X_i)+1-\hat{e}(X_i)\}(1-Z_i)Y_i}{1-\hat{e}(X_i)},\\ {\hat{\tau }}^{\mathrm{haj}}=& \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\{\hat{e}(X_i){\epsilon }_1(X_i)+1-\hat{e}(X_i)\}{Z}_i{Y}_i}{{\epsilon }_1(X_i)\hat{e}(X_i)}/\sum _{i=1}^n\frac{Z_i}{\hat{e}(X_i)}\\ & -\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\{\hat{e}(X_i){\epsilon }_0(X_i)+1-\hat{e}(X_i)\}(1-Z_i)Y_i}{1-\hat{e}(X_i)}/\sum _{i=1}^n\frac{1-Z_i}{1-\hat{e}(X_i)}.\end{array}$$
更有趣的是, 给定拟合的倾向性得分和回归模型, $${\hat{\tau }}^{\mathrm{dr}}={\hat{\tau }}^{\mathrm{ht}}-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\{Z_i-\hat{e}(X_i)\}\{\frac{{\hat{\mu }}_1(X_i)}{\hat{e}(X_i){\epsilon }_1(X_i)}+\frac{{\hat{\mu }}_0(X_i){\epsilon }_0(X_i)}{1-\hat{e}(X_i)}\}.$$ 是 双重稳健 的! 我们可以用 bootstrap 来估计上述估计量的方差.
当 ${\displaystyle {\epsilon }_1(X_i)={\epsilon }_0(X_i)=1}$, 上述估计量变回原本定义的回归估计量、IPW 估计量和双重稳健估计量.