本节讲的算法其实有个名字 Propensity score matching (PSM), 这是业界很常用的算法.

1 一个出发点: 远远更多的对照单元

如果在实验/对照的观察性实验中, 对照组的单元数量 ${\displaystyle n_0\gg n_1}$. 对实验组的 ${\displaystyle i=1,\cdots ,n_1}$, 我们在对照组找一个 ${\displaystyle m(i)}$ 使得协变量 ${\displaystyle X_i=X_{m(i)}}$. 理想情况下这是个双射, 且倾向得分 ${\displaystyle e(X_i)=e(X_{m(i)})}$. 因此 $$\mathbb{P}(Z_i=1,Z_{m(i)}=0|Z_i+Z_{m(i)}=1,X_i,X_{m(i)})=\frac{1}{2}.$$

也即给定一一分配到两个组的要求和协变量, 实验组分配和 MPE 一致. 这样我们可以用 FRT 或者 Neyman 等方法当作 MPE 一样分析.
但因为 ${\displaystyle n_0\gg n_1}$, 我们可以找到 ${\displaystyle M_i}$ 个匹配的对照组. 如果 ${\displaystyle M_i}$ 会变化, 这称为 可变比例匹配 (variable-ratio matching).
如果是完美匹配, 我们可以用 MPE 那套分析. 但是大多数情况下 ${\displaystyle X_i=X_{m(i)}}$ 并不能对所有单元成立.

2 一个更复杂但现实的情形

即使对照组很大, 我们也经常得不到完美的匹配. 我们只能得到 ${\displaystyle X_i\approx X_{m(i)}}$, 或者 ${\displaystyle X_i-X_{m(i)}}$ 在某些距离度量下很小. 例如我们定义 $$m(i)=\arg \underset{k:Z_k=0}{min}d(X_i,X_k),$$ 这里 ${\displaystyle d(X_i,X_k)}$ 是个距离度量. 通常的取法是 $$d(X_i,X_k)=(X_i-X_k{)}^{\mathrm{T}}(X_i-X_k)$$ 或 Mahalanobis 距离 $$d(X_i,X_k)=(X_i-X_k{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{\Omega }}^{-1}(X_i-X_k),$$ 这里 ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ 是 ${\displaystyle X_i}$ 的协方差矩阵 (可以是整个群体或者仅仅对照组).
这里有一些问题.

1. 拓展到一对 ${\displaystyle M}$ 的讨论.
2. 无放回匹配的讨论. 我们主要用的是有放回匹配, 通常匹配质量更高, 但是一个单元可能会被匹配多次, 引入了数据依赖性. 而无放回匹配虽然涉及计算量巨大的离散优化, 但是匹配单元间更有独立性.
3. 匹配后的数据协变量依然有细微差异, 所以要在匹配的数据上跑 OLS, 抹平残差.
4. 纬度灾难: 如果 ${\displaystyle X_i}$ 是高维的, 则 ${\displaystyle d(X_i,X_k)}$ 可能一直很大. 此时我们不得不删去难以匹配的单元, 但这也改变了我们感兴趣的研究人群.
   上述问题很难避免. 例如, 如果 ${\displaystyle X_i,X_k\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\mathcal{N}(0,I_p)}$, 则 $$(X_i-X_k{)}^{\mathrm{T}}(X_i-X_k)\sim 2{\chi }_p^2,$$ 这意味着它有均值 ${\displaystyle 2p}$ 和方差 ${\displaystyle 8p}$. 对于大的 ${\displaystyle p}$, 不完美的匹配会带来因果效应的更大偏差. 所以我们必须要进行一些降维, 而倾向得分就可以在这里使用.

3 平均因果效应的匹配估计量

我们取标准的观察性实验设置 ${\displaystyle \{X_i,Z_i,Y_i(1),Y_i(0)\}\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\{X,Z,Y(1),Y(0)\}}$.

3.1 点估计和偏差修正

我们考虑有放回的 ${\displaystyle 1-M}$ 配对. 对实验单元 ${\displaystyle i}$, 我们可以把潜在结果归因为 $${\hat{Y}}_i(0)=\frac{1}{M}\sum _{k\in J_i}{Y}_k,$$ 这里 ${\displaystyle J_i}$ 是 ${\displaystyle i}$ 在对照组中的匹配单元. 例如, 我们可以对对照组的所有 ${\displaystyle k}$ 计算 ${\displaystyle d(X_i,X_k)}$, 然后定义 ${\displaystyle J_i}$ 是所有让 ${\displaystyle d}$ 最小的 ${\displaystyle k}$ 的集合.
对对照单元 ${\displaystyle i}$, 我们可以简单令 ${\displaystyle {\hat{Y}}_i(0)=Y_i}$, 然后令 $${\hat{Y}}_i(1)=\frac{1}{M}\sum _{k\in J_i}{Y}_k,$$ 这里 ${\displaystyle J_i}$ 是 ${\displaystyle i}$ 在实验组中的匹配单元.
匹配估计量为 $${\hat{\tau }}^{\mathrm{m}}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\{{\hat{Y}}_i(1)-{\hat{Y}}_i(0)\}.$$ 它的偏差实际上是不可忽略的, 特别当 ${\displaystyle X}$ 是多维的, 且实验/对照组单元数量相当. 我们可以用下面的估计量来估计偏差: $$\begin{array}{rl}& \hat{B}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\hat{B}}_i,\\ & {\hat{B}}_i=\frac{2Z_i-1}{M}\sum _{k\in J_i}\{{\hat{\mu }}_{1-Z_i}(X_i)-{\hat{\mu }}_{1-Z_i}(X_k)\},\end{array}$$ 这里 ${\displaystyle \{{\hat{\mu }}_1(X_i),{\hat{\mu }}_0(X_i)\}}$ 是预测的结果, 例如用 OLS.
对实验单元 ${\displaystyle Z_i=1}$, 估计的偏差是 $${\hat{B}}_i=\frac{1}{M}\sum _{k\in J_i}\{{\hat{\mu }}_0(X_i)-{\hat{\mu }}_0(X_k)\},$$ 它修正了协变量错误匹配带来的对照组潜在结果的差距; 类似地对对照单元 ${\displaystyle Z_i=0}$, $${\hat{B}}_i=-\frac{1}{M}\sum _{k\in J_i}\{{\hat{\mu }}_1(X_i)-{\hat{\mu }}_1(X_k)\}.$$ 最后修正偏差了的估计量为 $${\hat{\tau }}^{\mathrm{mbc}}={\hat{\tau }}^{\mathrm{m}}-\hat{B},$$ 它有如下的线性展开.

这个线性展开导出一个简单的方差估计量. 把 ${\displaystyle {\hat{\tau }}^{\mathrm{mbc}}}$ 看作 ${\displaystyle {\hat{\psi }}_i}$ 的样本均值, 我们有 $${\hat{V}}^{\mathrm{mbc}}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n({\hat{\psi }}_i-{\hat{\tau }}^{\mathrm{mbc}}{)}^2,$$

3.2 与双重稳健估计量的关联

偏差修正的匹配估计量和双重稳健估计量有紧密的关联. 如果我们修改一下残差 $${\hat{R}}_i=\{\begin{array}{rl}& Y_i-{\hat{\mu }}_1(X_i),Z_i=1,\\ & Y_i-{\hat{\mu }}_0(X_i),Z_i=0,\end{array}$$ 则它们都和这个结果回归估计量相同.
对平均因果效应, 回顾 结果回归估计量 和 双重稳健估计量 $${\hat{\tau }}^{\mathrm{dr}}={\hat{\tau }}^{\mathrm{reg}}+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\{\frac{Z_i{\hat{R}}_i}{\hat{e}(X_i)}-\frac{(1-Z_i){\hat{R}}_i}{1-\hat{e}(X_i)}\}.$$ 进一步地 ${\displaystyle {\hat{\tau }}^{\mathrm{mbc}}}$ 形式类似 ${\displaystyle {\hat{\tau }}^{\mathrm{dr}}}$:

从这个命题, 我们可以把匹配看作一个倾向得分的非参数估计方式, 得到的 ${\displaystyle {\hat{\tau }}^{\mathrm{mbc}}}$ 看作一个双重稳定估计量. 例如, ${\displaystyle 1+\frac{K_i}{M}}$ 应该接近 ${\displaystyle \frac{1}{\hat{e}(X_i)}}$. 当实验单元有小的 ${\displaystyle e(X_i)}$ 时, ${\displaystyle \frac{1}{\hat{e}(X_i)}}$ 会很大, 它会匹配到很多对照单元, 导致大的 ${\displaystyle K_i}$ 以及大的 ${\displaystyle 1+\frac{K_i}{M}}$. 但是这种连接也会有一个显然的问题. 如果固定 ${\displaystyle M}$, 则用 ${\displaystyle 1+\frac{K_i}{M}}$ 估计 ${\displaystyle \frac{1}{e(X_i)}}$ 会有"很大噪音" (也即估计量方差大, 极不稳定, 因为你观察的数据是有限的、定死的). 所以我们必须要要求 ${\displaystyle M}$ 随着样本量一起增大才可能提升这个估计量的表现.

4 实验组中平均因果效应的匹配估计量

对实验组的平均因果效应 $${\tau }_{\mathrm{T}}=\mathbb{E}[Y|Z=1]-\mathbb{E}[Y(0)|Z=1],$$ 对于缺失的潜在结果, 用对照组的进行填补即可: $${\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{m}}=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n{Z}_i\{Y_i-{\hat{Y}}_i(0)\}$$ (也就是实验组的人的拟合结果平均一下). 这对于多维的 ${\displaystyle X}$ 也是有偏差的. 它的偏差可以估计为 $$\begin{array}{rl}& {\hat{B}}_{\mathrm{T}}=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n{Z}_i{\hat{B}}_{\mathrm{T},i},\\ & {\hat{B}}_{\mathrm{T},i}=\frac{1}{M}\sum _{k\in J_i}\{{\hat{\mu }}_0(X_i)-{\hat{\mu }}_0(X_k)\}.\end{array}$$ 最终修正偏差的估计量是 $${\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{mbc}}={\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{m}}-{\hat{B}}_{\mathrm{T}},$$ 也有线性展开:

我们可以把 ${\displaystyle {\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{mbc}}}$ 看作 ${\displaystyle \frac{n}{n_1}}$ 乘以 ${\displaystyle {\hat{\psi }}_{\mathrm{T},i}}$ 的样本均值, 所以一个直观的方差估计量是 $${\hat{V}}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{mbc}}={\left(\frac{n}{n_1}\right)}^2\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n{({\hat{\psi }}_{\mathrm{T},i}-{\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{mbc}}\frac{n_1}{n})}^2=\frac{1}{n_1^2}\sum _{i=1}^n{({\hat{\psi }}_{\mathrm{T},i}-{\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{mbc}}\frac{n_1}{n})}^2.$$
类似 前面的讨论, 我们能把双重稳健/偏差修正的配对估计量, 和结果回归估计量比较. 回顾$$\begin{array}{rl}& {\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{reg}}=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n{Z}_i\{Y_i-{\hat{\mu }}_0(X_i)\},\\ & {\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{dr}}={\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{reg}}-\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^n\frac{\hat{e}(X_i)}{1-\hat{e}(X_i)}(1-Z_i){\hat{R}}_i.\end{array}$$ 进一步地, 我们可以验证 ${\displaystyle {\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{mbc}}}$ 形式类似 ${\displaystyle {\hat{\tau }}_{\mathrm{T}}^{\mathrm{dr}}}$.

这说明本质上匹配用了 ${\displaystyle \frac{K_i}{M}}$ 来估计接受实验处理的几率.