在前面的章节中我们分别讨论了不同实验下的 Fisher, Neyman 推断:

• Fisher 关注在强 ${\displaystyle H_0}$ 下, 有限样本算出来的 p 值;
• Neyman 关注对平均因果效应的无偏估计和相对保守的置信区间.

由于它们都基于物理的随机化, 它们都被叫做基于随机化/实验设计的推断. 因为他们都关于有限的总体, 所以也可以叫有限总体推断.

本章我们将试图统一这两者.

1 CRE 下检验强和弱零假设

回顾 ${\displaystyle H_{0\mathrm{F}}:Y_i(1)=Y_i(0),\mathrm{\forall }i=1,\cdots ,n}$, 它的 ${\displaystyle p}$ 值在 这里 介绍过. 由于假设检验和置信区间的对偶性, Neyman 给出了 $$H_{0\mathrm{N}}:\tau =0⟺H_{0\mathrm{N}}:\bar{Y}(1)=\bar{Y}(0),$$ 基于 ${\displaystyle t=\frac{\hat{\tau }}{\sqrt{\hat{V}}}}$. 基于 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 的 CLT 和方差估计量的保守性, 我们有 $$t=\sqrt{\frac{\mathrm{Var}(\hat{\tau })}{\hat{V}}}\times \frac{\hat{\tau }}{\sqrt{\mathrm{Var}(\hat{\tau })}}\stackrel{\mathrm{d}}{\to }C\times \mathcal{N}(0,1).$$
进一步的如果我们定义学生 ${\displaystyle t}$ 检验量作为 FRT, 则有以下对偶性质:

• ${\displaystyle p_{\mathrm{FRT}}}$ 在 ${\displaystyle H_{0\mathrm{F}}}$ 是有限样本 #？ 精确的 ;
• ${\displaystyle p_{\mathrm{FRT}}}$ 在 ${\displaystyle H_0}$ 下渐近保守.

这只是 ${\displaystyle t}$ 统计量的特性, 其他检验量就没有这个特性了.

在 ${\displaystyle H_{0\mathrm{N}}}$ 下 $$\hat{\tau }\sim \mathcal{N}(0,\frac{S^2(1)}{n_1}+\frac{S^2(0)}{n_0}-\frac{S^2(\tau )}{n}).$$
在 ${\displaystyle H_{0\mathrm{F}}}$ 下用 ${\displaystyle \pi }$ 表示随机打乱, 则随机化分布 ${\displaystyle ({\hat{\tau }}^{\pi })}$ 满足 $$(\hat{\tau }{)}^{\pi }\sim \mathcal{N}(0,\frac{s^2}{n_1}+\frac{s^2}{n_0}),$$ 这里 ${\displaystyle s^2}$ 是观测结果的样本方差. 基于 (3.1), $$\begin{array}{rl}\frac{s^2}{n_1}+\frac{s^2}{n_0}& =\frac{n}{n_1{n}_0}\{\frac{n_1-1}{n-1}{\hat{S}}^2(1)+\frac{n_0-1}{n-1}{\hat{S}}^2(0)+\frac{n_1{n}_0}{n(n-1)}{\hat{\tau }}^2\}\\ & \approx \frac{{\hat{S}}^2(1)}{n_0}+\frac{{\hat{S}}^2(0)}{n_1}\approx \frac{S^2(1)}{n_0}+\frac{S^2(0)}{n_1}.\end{array}$$
这和 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 的渐近分布不匹配. 理想上说, 我们希望计算 ${\displaystyle H_{0\mathrm{N}}}$ 下的 ${\displaystyle p}$ 值的时候基于 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 的真实分布, 但它依赖于未知的潜在结果. 相反地, 我们用 FRT 基于 ${\displaystyle (\hat{\tau }{)}^{\pi }}$ 的 ${\displaystyle p_{\mathrm{FRT}}}$ 计算, 却不和真实的 ${\displaystyle H_{0\mathrm{N}}}$ 下的 ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 匹配. 从而, ${\displaystyle \hat{\tau }}$ 的 FRT 可能法控制 ${\displaystyle H_{0\mathrm{N}}}$ 下的 I 类错误.
幸运的是, 我们可以用 ${\displaystyle t}$ 检验量. ${\displaystyle H_{0\mathrm{N}}}$ 下 $$t\sim \mathcal{N}(0,C^2),C^2\le 1,$$ (等号当且仅当 ${\displaystyle Y_i(1)-Y_i(0)=\tau ,\mathrm{\forall }i=1,\cdots ,n}$.) FRT 假定 ${\displaystyle Y_i(1)=Y_i(0)=Y_i}$, 得到打乱后的分布 ${\displaystyle t^{\pi }\sim \mathcal{N}(0,1)}$.

这里方差为 ${\displaystyle 1}$, 是因为 FRT 用的 潜在结果表 的个体因果效应为 ${\displaystyle 0}$. 在 ${\displaystyle H_{0\mathrm{N}}}$ 下, 因为 ${\displaystyle t}$ 的真实分布比打乱分布更分散, 因此基于 ${\displaystyle t}$ 的 ${\displaystyle p_{\mathrm{FRT}}}$ 更加渐近保守.

2 CRE 中协变量调整的 FRT

现在我们推广到协变量. 我们在 FRT 中用学生化 Lin 估计: $$t_{\mathrm{L}}=\frac{{\hat{\tau }}_{\mathrm{L}}}{\sqrt{{\hat{V}}_{\mathrm{L}}}},$$ (见 回归调整). 它是 ${\displaystyle Y_i}$ 上 ${\displaystyle (1,Z_i,X_i,Z_i{X}_i)}$ OLS 拟合后 ${\displaystyle Z_i}$ 的系数, 并转化得到的稳健的 ${\displaystyle t}$ 统计量. ${\displaystyle t_{\mathrm{L}}}$ 下的 FRT 有以下特点:

• ${\displaystyle p_{\mathrm{FRT}}}$ 在 ${\displaystyle H_{0\mathrm{F}}}$ 下是有限样本精确的;
• ${\displaystyle p_{\mathrm{FRT}}}$ 在 ${\displaystyle H_{0\mathrm{N}}}$ 下是渐近保守的;
• 相比 ${\displaystyle H_{0\mathrm{N}}}$ 不成立下 ${\displaystyle t}$ 的 FRT, ${\displaystyle p_{\mathrm{FRT}}}$ 更有渐近功效;
• 这些性质在我们用错误的 OLS 模型下依然成立.

3 通用建议

如果没有协变量, 通常使用 ${\displaystyle t_{\mathrm{S}}=\frac{{\hat{\tau }}_{\mathrm{S}}}{\sqrt{{\hat{V}}_{\mathrm{S}}}}}$ 的 FRT; 有协变量时, 使用 ${\displaystyle t_{\mathrm{L},\mathrm{S}}=\frac{{\hat{\tau }}_{\mathrm{L},\mathrm{S}}}{\sqrt{{\hat{V}}_{\mathrm{L},\mathrm{S}}}}}$ 的 FRT.