1 分层

CRE 可能会给出不理想的分组方式. 定义一个离散的协变量 ${\displaystyle X_i\in \{1,\cdots ,K\}}$, 并定义 ${\displaystyle n_{[k]}=\mathrm{\#}\{i:X_i=k\}}$, ${\displaystyle {\pi }_{[k]}=\frac{n_{[k]}}{n}}$ 为 ${\displaystyle X_i=k}$ 的个数和比例. 在这里我们相当于借助某个协变量, 对实验单元进行了分层. 在实验组、对照组中, $$n_{[k]1}=\mathrm{\#}\{i:X_i=k,Z_i=1\},n_{[k]0}=\mathrm{\#}\{i:X_i=k,Z_i=0\}.$$
自然 ${\displaystyle n_{[k]}=n_{[k]1}+n_{[k]0}}$. 平均来说 $$\mathbb{E}(\frac{n_{[k]1}}{n_1}-\frac{n_{[k]0}}{n_0})=0,$$ 但是一般来说在实验组、对照组中它们的差值是显著的.

为了让协变量保持均衡, 我们定义 分层随机化实验 (stratified randomized experiments, SRE)

因此在 CRE 中, 总的随机化个数为 ${\displaystyle \prod _{k=1}^K(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_{[k]}}{n_{[k]1}})}$, 每一个随机化等可能. 在每一个分层 ${\displaystyle k}$ 中, 实验组的比例为 $$e_{[k]}=\frac{n_{[k]1}}{n_{[k]}},$$ 这称为 倾向得分 (propensity score).

有了协变量, 我们知道 SRE 只是 CRE 的子集, 也即 ${\displaystyle \prod _{k=1}^K(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_{[k]}}{n_{[k]1}})<(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})}$. 此外 SRE 中 ${\displaystyle e_{[k]}}$ 是固定的, 而 CRE 中是随机的.

同样可以定义潜在输出 ${\displaystyle Y_i(1),Y_i(0)}$ 和个体因果效应 ${\displaystyle {\tau }_i=Y_i(1)-Y_i(0)}$. 对分层 ${\displaystyle k}$, 定义分层平均因果效应 $${\tau }_{[k]}=\frac{1}{n_{[k]}}\sum _{X_i=k}{\tau }_i,$$ 因此有 $$\tau =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\tau }_i=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^K\sum _{X_i=k}{\tau }_i=\sum _{k=1}^K{\pi }_{[k]}{\tau }_{[k]}.$$
接下来我们讨论对 ${\displaystyle \tau }$ 的统计推断.

2 FRT

同样我们考虑 SRE 中的 FRT. 零假设依然为 $$H_{0\mathrm{F}}:Y_i(1)=Y_i(0),\mathrm{\forall }i=1,\cdots ,n.$$
同样地我们可以取任何检验量 ${\displaystyle T=T(Z,Y,X)}$. 下面是一些常用的.

3 Neyman 推断

SRE 本质上是 ${\displaystyle K}$ 个独立的 CRE, 因此沿用 Neyman定理, $$\mathrm{Var}({\hat{\tau }}_{[k]})=\frac{S_{[k]}^2(1)}{n_{[k]1}}+\frac{S_{[k]}^2(0)}{n_{[k]0}}-\frac{S_{[k]}^2(\tau )}{n_{[k]}}.$$ 这样 ${\displaystyle {\hat{\tau }}_{\mathrm{S}}=\sum _{k=1}^K{\pi }_{[k]}{\hat{\tau }}_{[k]}}$ 是 ${\displaystyle \tau =\sum _{k=1}^K{\pi }_{[k]}{\tau }_{[k]}}$ 的无偏估计, 且 $$\mathrm{Var}({\hat{\tau }}_{\mathrm{S}})=\sum _{k=1}^K{\pi }_{[k]}^2\mathrm{Var}({\hat{\tau }}_{[k]}).$$

3.1 比较 SRE 与 CRE

为了公平对比, 我们让所有的 ${\displaystyle k}$ 都有相同的倾向得分 ${\displaystyle e_{[k]}=e}$.

下面比较样本方差. 首先$$\begin{array}{rl}{S}^2(1)& =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n\{Y_i(1)-\bar{Y}(1){\}}^2\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^K\sum _{X_i=k}\{Y_i(1)-{\bar{Y}}_{[k]}(1)+{\bar{Y}}_{[k]}(1)-\bar{Y}(1){\}}^2\\ & =\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^K\sum _{X_i=k}[\{Y_i(1)-{\bar{Y}}_{[k]}(1){\}}^2+\{{\bar{Y}}_{[k]}(1)-\bar{Y}(1){\}}^2]\\ & =\sum _{k=1}^K[\frac{n_{[k]}-1}{n-1}{S}_{[k]}^2(1)+\frac{n_{[k]}}{n-1}\{{\bar{Y}}_{[k]}(1)-\bar{Y}(1){\}}^2].\end{array}$$ 类似地 $$\begin{array}{rl}{S}^2(0)& =\sum _{k=1}^K[\frac{n_{[k]}-1}{n-1}{S}_{[k]}^2(0)+\frac{n_{[k]}}{n-1}\{{\bar{Y}}_{[k]}(0)-\bar{Y}(0){\}}^2],\\ S^2(\tau )& =\sum _{k=1}^K[\frac{n_{[k]}-1}{n-1}{S}_{[k]}^2(\tau )+\frac{n_{[k]}}{n-1}\{{\tau }_{[k]}-\tau {\}}^2].\end{array}$$
回顾 CRE 的方差 (还是在 Neyman定理 中) 然后代入上面的结果: $$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Var}}_{\mathrm{CRE}}(\hat{\tau })=\frac{S^2(1)}{n_1}+\frac{S^2(0)}{n_0}-\frac{S^2(\tau )}{n}\\ =& \sum _{k=1}^K[\frac{n_{[k]}-1}{(n-1)n_1}{S}_{[k]}^2(1)+\frac{n_{[k]}-1}{(n-1)n_0}{S}_{[k]}^2(0)-\frac{n_{[k]}-1}{(n-1)n}{S}_{[k]}^2(\tau )\\ & +\frac{n_{[k]}-1}{(n-1)n_1}\{{\bar{Y}}_{[k]}(1)-\bar{Y}(1){\}}^2+\frac{n_{[k]}-1}{(n-1)n_0}\{{\bar{Y}}_{[k]}(0)-\bar{Y}(0){\}}^2\\ & -\frac{n_{[k]}-1}{(n-1)n}\{{\tau }_{[k]}-\tau {\}}^2]\\ \approx & \sum _{k=1}^K[\frac{{\pi }_{[k]}}{n_1}{S}_{[k]}^2(1)+\frac{{\pi }_{[k]}}{n_0}{S}_{[k]}^2(0)-\frac{{\pi }_{[k]}}{n}{S}_{[k]}^2(\tau )\\ & +\frac{{\pi }_{[k]}}{n_1}\{{\bar{Y}}_{[k]}(1)-\bar{Y}(1){\}}^2+\frac{{\pi }_{[k]}}{n_0}\{{\bar{Y}}_{[k]}(0)-\bar{Y}(0){\}}^2-\frac{{\pi }_{[k]}}{n}\{{\tau }_{[k]}-\tau {\}}^2].\end{array}$$
(近似发生在 ${\displaystyle n_{[k]}}$ 很大的时候).
而在 SRE 中, 由于 ${\displaystyle \frac{{\pi }_{[k]}}{n_{[k]1}}=\frac{1}{ne}}$, ${\displaystyle \frac{{\pi }_{[k]}}{n_{[k]0}}=\frac{1}{n(1-e)}}$, ${\displaystyle \frac{{\pi }_{[k]}}{n_{[k]}}=\frac{1}{n}}$, 因此 $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Var}}_{\mathrm{SRE}}({\hat{\tau }}_{\mathrm{S}})& =\sum _{k=1}^K{\pi }_{[k]}^2[\frac{S_{[k]}^2(1)}{n_{\left[k\right]1}}+\frac{S_{[k]}^2(0)}{n_{[k]0}}-\frac{S_{[k]}^2(\tau )}{n_{[k]}}]\\ & =\sum _{k=1}^K[\frac{{\pi }_{[k]}}{n_1}{S}_{[k]}^2(1)+\frac{{\pi }_{[k]}}{n_0}{S}_{[k]}^2(0)-\frac{{\pi }_{[k]}}{n}{S}_{[k]}^2(\tau )],\end{array}$$
因此在 ${\displaystyle n_{[k]}}$ 很大的时候 $$\begin{array}{rl}& {\mathrm{Var}}_{\mathrm{CRE}}(\hat{\tau })-{\mathrm{Var}}_{\mathrm{SRE}}({\hat{\tau }}_{\mathrm{S}})\\ =& \sum _{k=1}^K{\pi }_{[k]}[\frac{\{{\bar{Y}}_{[k]}(1)-\bar{Y}(1){\}}^2}{n_1}+\frac{\{{\bar{Y}}_{[k]}(0)-\bar{Y}(0){\}}^2}{n_0}-\frac{({\tau }_{[k]}-\tau {)}^2}{n}]\\ =& \sum _{k=1}^K\frac{{\pi }_{[k]}}{n}{[\sqrt{\frac{n_0}{n_1}}\{{\bar{Y}}_{[k]}(1)-\bar{Y}(1)\}+\sqrt{\frac{n_1}{n_0}}\{{\bar{Y}}_{[k]}(0)-\bar{Y}(0)\}]}^2\ge 0.\end{array}$$

这说明 SRE 总是有一个更小的方差, 结果更加稳定.

4 CRE 的后分层

如果给定 ${\displaystyle \overrightarrow{n}=\{n_{[k]1},n_{[k]0}{\}}_{k=1}^K}$, CRE 成为 SRE: $${\mathbb{P}}_{\mathrm{CRE}}(Z=z|\overrightarrow{n})=\frac{{\mathbb{P}}_{\mathrm{CRE}}(Z=z,\overrightarrow{n})}{{\mathbb{P}}_{\mathrm{CRE}}(\overrightarrow{n})}={\left(\prod _{k=1}^K(\genfrac{}{}{0ex}{}{n_{[k]}}{n_{[k]1}})\right)}^{-1}.$$
也即这和 SRE 中 ${\displaystyle Z}$ 的分布完全一致. 也即在 ${\displaystyle \overrightarrow{n}}$ 上做条件概率, 可以把 CRE 当成 SRE 来做. 此时 FRT 变成条件 FRT, Neyman 分析变成后分层: $${\hat{\tau }}_{\mathrm{PS}}=\sum _{k=1}^K{\pi }_{[k]}{\hat{\tau }}_{[k]}.$$ 这与 ${\displaystyle {\hat{\tau }}_{\mathrm{S}}}$ 形式相同, ${\displaystyle \mathrm{Var}({\hat{\tau }}_{\mathrm{PS}}|\overrightarrow{n})}$ 也和 ${\displaystyle \widehat{{\tau }_{\mathrm{S}}}}$ 一样.